Probabilidad

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

1. Sean A y B dos sucesos y A , B sus complementarios. Si se verifica que p ( B ) = 2 / 3, p ( A ∪ B ) = 3 / 4 y p ( A ∩ B ) = 1/ 4, hallar:

p ( A), p ( A ∩ B ), y la probabilidad condicionada p ( A / B )
Universidad de Castilla – León

SOLUCIÓN:


Para designar el suceso complementario de B, podemos expresarlo también como Bc

por tanto, Si p(Bc) = 2/3,entonces p(B) = 1 – 2/3 = 1/3
a)

Sabemos que p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) y despejando p ( A) resulta:



Nos fijaremos en el siguiente diagrama:

La parte sombreada de la primera figura es la intersección de Ac y de B La parte sombreada de la 2ª figura es A∩ B. ∩ Además, ambos sucesos, ambas zonas, son incompatibles.

Se verifica que:

Teniendo en cuenta que p(B∩ A)= p(B).p(A/B), tenemos:

2.- En un cierto edificio se usan dos ascensores; el primero lo usan el 45 % de los inquilinos y el resto usan el segundo. El porcentaje de fallos es del 5%, mientras que el del segundo es del 8 %. Si en un cierto día un inquilino queda "atrapado" en un ascensor, hallar la probabilidad de que halla sido en el primero.
Universidad de Alicante.

SOLUCIÓN: Utilizamosel diagrama del árbol:

Aplicando el teorema de la probabilidad total tenemos:

(Se toman todas las ramas que van a F)

Ahora aplicamos el teorema de Bayes: p(de ser atrapado en el 1º)=p(utilizar A/condicionado a que falle)=

que es la probabilidad pedida
(Se toma la rama del ascensor A y se divide por la suma de las ramas o caminos)

3.- En un espacio probabilístico se consideran lossucesos A y C cuyas probabilidades son p(A) = 0,3 y p(B) = 0,6. Por Bc se designa el suceso complementario o contrario al suceso B. Calcular la probabilidad del suceso A∩ Bc en los siguientes casos: a) La probabilidad del suceso A∩B es 0,2. b) Los sucesos A y B son independientes.
Universidad de Valencia.

SOLUCIÓN:

Si observamos la figura resulta:

La zona roja, sombreado del centro, es laintersección de A y B, es decir, A∩ B La zona amarilla, sombreado de la izquierda, es la intersección de A y del complementario de B, es decir, A∩ Bc Además, la unión de las dos zonas es A, es decir, (A∩ Bc)∪ (A∩ B)=A

Aplicando probabilidad: p(A∩ Bc)+p(A∩ B) = p(A), ya que se trata de dos sucesos incompatibles. Y despejando en la igualdad anterior, p(A∩ Bc) = p(A) – p(A∩ B) En el primer caso,p(A∩ B) = 0,2; p(A∩ Bc) = 0,3 – 0,2 = 0,1 ∩ En el segundo caso los sucesos son independientes, por tanto, p(A∩ B) = p(A).p(B) = 0,3.0,6 = 0,18 y entonces, p(A∩ Bc) = 0,3 – 0,18 = 0,12 ∩

4.- En una urna hay 10 bolas blancas y 12 bolas rojas. Encontrar la posibilidad de que al extraer dos bolas sin devolución se obtenga una de cada color.
Universidad de Murcia.

SOLUCIÓN: Tenemos un conjuntode 10 bolas blancas y 12 bolas rojas. Para extraer una bola de cada color se ha de extraer 1 blanca y 1 roja. Formas de extraer 1 bola blanca entre un conjunto de 10:

Formas de extraer 1 bola roja entre un conjunto de 12:

Los casos favorables son:

Casos posibles son las distintas formas de escoger 2 bolas entre un conjunto de 22:

La probabilidad pedida será:

Otra manera: Sea B1 elsuceso "extraer bola blanca en la primera extracción" B2 es el suceso "extraer bola blanca en la segunda extracción" R1 es el suceso "extraer bola roja en la primera extracción" R2 es el suceso "extraer bola roja en la segunda extracción". Dos bolas del mismo color se pueden conseguir de la forma siguiente: (primera blanca y segunda roja) o (primera roja y segunda blanca). A la y se le asocia elsímbolo de ∩ A la o se le asocia el símbolo de ∪ De ese modo tenemos: p(obtener dos bolas del mismo color) = p[( B1 ∩ R2 ) ∪ ( R1 ∩ R2 )] es decir, p = p ( B1 ∩ R2 ) + p ( R1 ∩ R2 ) = p ( B1 ). p ( R2 / B1 ) + p ( R1 ). p ( R2 / R1 )

Por tanto,

5.- A. Función de distribución asociada a una variable aleatoria continua. Propiedades. B. La función de densidad de una cierta variable aleatoria,...
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