Probabilidad

Tema 2 - Probabilidad
Variable Aleatoria Continuas

Distribución de probabilidad en variables discretas
• (x, P(X=x)), ∀x∈ ΩX • Ejemplo: Número de caras al lanzar 3 monedas.
40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0 1 2 3

Variable aleatoria continua
• Una variable que asigna a cada suceso un número real • X = x significa que la variable aleatoria X toma el valor x∈ℜ; X ≤ x significa que lavariable aleatoria X toma valores menores o iguales a x • La función de distribución, o función acumulativa, de la variable aleatoria X, F(x), se define como F(x) = P(X ≤ x)

Ejemplo
• Encender un foco eléctrico hasta que se funda. Medir el tiempo transcurrido.
– X = tiempo de vida útil
F(x)

 0 F ( x) =  − λx 1 − e

x=0 x>0
x

Función de densidad
• Si X es una variable aleatoriacontinua, entonces su función de distribución F(x) es continua y diferenciable para toda x, excepto un número finito de valores. • Además, su función de densidad f(x) es continua
f ( x) = ∂F ( x) ∂x

Función de probabilidad continua
• De lo anterior:
F ( x) =
−∞

∫ f ( x)dx

x

• Propiedades: 1. f(x) ≥ 0, para toda x ∈ Ωx 2. ∫Ωx f(x)dx = 1 3. f(x) es continua 4. F(x) = 0 si x ∉ ΩxIntuyendo la función de densidad
• Piénsalo como la generalización del histograma con frecuencias relativas para variables continuas. • Utilización
– No se usan directamente. – Sus valores no representan probabilidades.

Uso de la función de densidad
• Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos. • La integral definida dela función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos. • Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad.

Uso de la función de distribución
• Contrastar lo anómalo de una observación concreta. Valores cercanos a 1 o a 0, mientras que los valores más normales son los que tienen una función de distribución cercanaa 0,5
– Un hombre adulto que mida 220cm es “anómalo” porque su función de distribución es muy alta (cercana a 1). – Si mide menos de 130cm es “anómalo” porque la función de distribución es muy baja (cercana a 0). – Si mide 170cm se considera normal, su función de distribución es aproximadamente 0,5

Propiedades
• Función de distribución discreta [(xi, Pr(x)); i=1..k] Ωx ={1,..,k} • Función dedistribución continua o función de densidad) Ωx ⊂ℜ [(x, f(x)); x ∈ Ωx] • Esperanza: (media)

 k  x Pr( xi ) caso discreto ∑ i µ x =  i =1  ∫ x ⋅ f ( x)dx caso contínuo Ωx 

k 2 ∑ ( xi − µ x ) Pr( xi ) caso discreto • Desviación típica  i =1 σx =  (Varianza) 2  ∫ ( x − µ x ) f ( x)dx caso contínuo  Ωx 

Distribuciones discretas
• • • • • Bernoulli Binomial Geométrica PascalPoisson

Distribuciones continuas
• • • • Uniforme Exponencial Gamma Normal

Distribución de Bernoulli
• Tenemos un experimento de Bernoulli si sólo son posibles dos resultados, llamados éxito y fracaso. • Se caracteriza por la probabilidad de éxito, p, siendo la probabilidad de fracaso q=1-p
• Lanzar una moneda y que salga cara.
– p=1/2

• Elegir una persona de la población y que estéenfermo.
– p=1/1000 = prevalencia de la enfermedad

• Aplicar un tratamiento a un enfermo y que éste se cure.
– p=95%, probabilidad de que el individuo se cure

Ejemplo
• Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal y cuyos conductores no tenían cinturón de seguridad, que 300 individuos quedaron con secuelas. • Describir el experimento mediante una función dedistribución
– Aplicando la regla de Laplace podemos aproximar la probabilidad de tener secuelas mediante 300/2000=0,15=15% – X=“tener secuelas tras accidente sin cinturón” es una variable aleatoria con distribución de Bernoulli • X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,15 • X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,85

Ejemplo.
• Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal y cuyos...