Probabilidades y estadistica

Probabilidades y Estadística (Computación) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco y Elena J. Martínez

2004

Inferencia estadística – Intervalos de confianza
Cuando se obtiene una estimación puntual de un parámetro, es conveniente acompañar dicha estimación por una “medida” de la precisión de la estimación. Un modo de hacerlo es informar elestimador y su error standard. Otro modo es reemplazar la estimación puntual por un intervalo de valores posibles para el parámetro. Ejemplo:
2 o

Supongamos que
2 o

tenemos una m.a.

X 1 , X 2 ,..., X n de una distribución

N ( µ , σ ) con varianza σ conocida. Por ser los datos normales, sabemos que
2  σo  µ, X ~ N n 

   

⇔

X −µ ~ N (0,1) σo n X −µ se encuentre entre –1.96 yσo

y, por lo tanto, sabemos que la probabilidad de que 1.96 es 0.95, es decir

n

  X −µ P − 1.96 ≤ n ≤ 1.96  = 0.95   σo  

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A partir de esta expresión obtenemos

σ σ   P − 1.96 o ≤ X − µ ≤ 1.96 o  = 0.95   nn 

⇔

σ σ   P X − 1.96 o ≤ µ ≤ X + 1.96 o  = 0.95   n n 

Es decir, que la probabilidad de que el intervalo

σo σ   , X + 1.96 o   X − 1.96 n n 
contenga al verdadero valor del parámetro µ es 0.95. Este intervalo se denomina intervalo de confianza para µ de nivel de confianza 0.95. Definición: Sea X 1 , X 2 ,..., X n una m.a. de una distribución que depende de unparámetro θ. Dadas dos funciones de la muestra a ( X 1 , X 2 ,...., X n ) y b( X 1 , X 2 ,...., X n ) tales que

P(a ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ≤ θ ≤ b( X 1 , X 2 ,..., X n ) ) = 1 − α con α pequeño (por ejemplo, 0.10, 0.05, 0.01), el intervalo [a ( X 1 , X 2 ,..., X n ), b( X 1 , X 2 ,..., X n )] se
denomina intervalo de confianza de nivel 1 - α para el parámetro θ. Interpretación: Supongamos que, en basea diferentes muestras calculamos los correspondientes intervalos de confianza para θ. Entonces el (1 - α) 100% de ellos contendrán al verdadero valor θ.

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Observaciones: 1) No es correcto decir “la probabilidad de que θ pertenezca alintervalo (a,b) es 1 - α” porque θ no es una variable aleatoria. El intervalo es aleatorio ya que sus extremos son funciones de la muestra y por lo tanto, debemos decir “la probabilidad de que el intervalo (a,b) contenga al parámetro θ es 1 - α” 2) Una vez construído el intervalo a partir de una muestra dada, ya no tiene sentido hablar de probabilidad. En todo caso, tenemos “confianza” de que elintervalo contenga a θ. La confianza está puesta en el método de construcción de los intervalos, que nos asegura que (1 - α) 100% de las muestras producirán intervalos que contienen a θ.

Intervalos de confianza para los parámetros de una distribución normal
2 Distribución t: Sean dos v.a. Z ~N(0,1) y U ~ χ n = Γ ,  independientes, entonces

n 1 2 2

T=

Z U n

~ tn

Se dice queT tiene distribución t de Student con n grados de libertad. Esta distribución está tabulada para diferentes valores de n. Su densidad es simétrica respecto al 0 y tiene forma de campana, pero tiene colas más pesadas que la distribución normal standard. Cuando n tiende a infinito, la distribución de Student tiende a la distribución normal standard. Proposición: Sea X 1 , X 2 ,..., X n una m.a. deuna distribución N(µ, σ2), entonces a)

 σ2  X ~ N  µ, n 

   

⇔

n

X −µ ~ N (0,1) σ

b) c) d)

(n − 1) S 2 ~ χ n −1 2 σ
2

con S 2 =

∑ (X
i =1

n

i

− X )2

n −1

X y S 2 son independientes n X −µ ~ t n −1 S

Dem: a) Ya hemos visto que cualquier combinación de v.a. normales independientes es normal y el promedio es una combinación lineal particular....