Probabilidades

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Elementos de Probabilidades

Los primeros estudios de probabilidad fueron motivados por la posibilidad de acierto o fracaso en los juegos de azar. La probabilidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyo resultado no puede ser predicho de antemano con seguridad. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda. Enfoques deprobabilidad 1) Experimento aleatorio o experimento: cualquiera operación cuyo resultado no puede ser predicho de anterioridad con seguridad. Ejemplo: a) lanzamiento de una moneda b) lanzamiento de un dado c) extracción de una carta de una baraja de 52 cartas 2) Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento. Su símbolo es H . Si el espacio muestraltiene un número finito de elementos o infinito numerable, entonces se dice que éste es discreto y si el espacio muestral tiene como elementos todos los puntos de algún intervalo real, entonces se dice que éste es continuo . Ejemplo: a) experimento:lanzamiento de un dado H œ Ö"ß #ß $ß %ß &ß '× b) experimento: tiempo de duración de un tubo fluorescente H œ {>ß>   !} 3) Evento o suceso: es cualquiersubconjunto de un espacio muestral. Todo subconjunto es un evento, en particular H mismo es un evento, llamado suceso seguro y el conjunto vacío, g, también es un evento, llamado suceso imposible . Ejemplo: A œ Öobtener un número impar al lanzar un dado× A œ Ö"ß $ß & × B œ Öobtener al menos una cara al lanzar una moneda dos veces× B œ Ö-=ß =-ß --×

Como los eventos son subconjuntos de H, entonceses posible aplicar la teoría de conjuntos para obtener nuevos eventos. Si A y B son eventos, entonces también lo son A  B, A  B, Ac A  B ocurre si, y sólo si sólo ocurre A o sólo ocurre B u ocurren A y B a la vez. A  B ocurre si, y sólo si ocurre A y ocurre B a la vez. Ac ocurre si, y sólo si no ocurre A. En todo experimento aleatorio H se considera el conjunto universal, por lo tanto, todoslos complementos son tomados respecto a H. Ejemplo Considere el experimento lanzamiento de dos dados. a) Determine el espacio muestral b) Obtenga los siguientes eventos: A œ Öla suma de los dos números es un múltiplo de dos× B œ Öambos dados muestran la misma cara× C œ Ölos dos números son primos× D œ Öla resta de los dos números es divisible por tres× c) Encuentre, si es posible, A  B, C  D, Bc ,Bc  Cc Î a"ß "b Ð a#ß "b Ð Ð a$ß "b H œ ¤Ð Ð a%ß "b Ð a&ß "b Ï a'ß "b +Ñ a"ß "b A œ  a$ß "b a&ß "b ,Ñ a"ß #b a#ß #b a$ß #b a%ß #b a&ß #b a'ß #b a"ß $b a$ß $b a&ß $b a"ß $b a#ß $b a$ß $b a%ß $b a&ß $b a'ß $b a"ß &b a$ß &b a&ß &b a"ß %b a"ß &b a"ß 'b Ñ a#ß %b a#ß &b a#ß 'b Ó Ó a$ß %b a$ß &b a$ß 'b Ó Ó ¥ a%ß %b a%ß &b a%ß 'b Ó Ó a&ß %b a&ß &b a&ß 'b a'ß %b a'ß &b a'ß 'b Ò a#ß #b a%ß #b a'ß #b a#ß%b a%ß %b a'ß %b a#ß 'b a%ß 'b Ÿ a'ß 'b

B œ Ö a"ß "b

a#ß #b C œ  a$ß #b a&ß #b

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a#ß $b a$ß $b a&ß $b

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D œ Ö a"ß %b -Ñ ABœA

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C  D œ Ö a#ß &b

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Bc œ ÖaBß CbÎB Á C×

a&ß #b × a"ß $b a#ß 'b a%ß $b a'ß "ba"ß %b a$ß "b a%ß &b a'ß #b a"ß &b a$ß %b a%ß 'b a'ß $b a"ß 'b a#ß "b Ñ a$ß 'b a%ß "b Ó Ó a&ß "b a&ß %b a'ß %b a'ß &b Ò

Concepto de probabilidad en espacio finito equiprobable
Si H es un espacio muestral con 8 elementos, entonces la probabilidad de un 7 evento A es el cuociente , donde 7 es el número de elementos de A 8 Esto se denota: PaAb œ Ejemplo À H œ Ölanzamiento de un dado× A œ Öaparece unmúltiplo de tres× PaAb œ # " œ ' $ Ê H œ Ö"ß #ß $ß %ß &ß '× Ê A œ Ö$ß '× 7 8

Definición: Diremos que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir juntos, es decir A  B œ g Por ejemplo, H œ Ö lanzamiento de un dado× Ê H œ Ö "ß #ß $ß %ß &ß '× A œ Ö aparece un múltiplo de tres × Ê E œ Ö $ß ' × B œ Ö aparece un múltiplo de cuatro × Ê F œ Ö%× Luego, A y B son...
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