Probemas de intervalos de confianza

Temas 7 y8. Estimadores y sus distribuciones. 1

Problemas resueltos Temas 7 y 8. 1- En una población se presenta una alteración leve en una cierta proporción P de los individuos que la componen. Definimos una variable aleatoria X que vale 1 para los individuos alterados y 0 para los no alterados. a) Escriba la distribución poblacional de esta variable aleatoria b) Si p es la proporción deveces que aparece el valor 1 en muestras aleatorias simples de tamaño 3. Calcule la distribución en el muestreo de p, suponiendo que P es igual a 0,2. c) Demuestre que en este caso p es un estimador insesgado de P. d) Repita los pasos b) y c) de forma general para un valor cualquiera de P. Solución: La solución del apartado a) aparece en la siguiente tabla: xi 0 1 pi 0,8 0,2

Para resolver elapartado b) comenzamos con una tabla donde aparecen todas las posibles muestras de tamaño 3, la probabilidad de estas muestras y el valor de la proporción muestral en cada una de ellas Muestra (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1) Prob. 0,512 0,128 0,128 0,128 0,032 0,032 0,032 0,008 p 0 1/3 1/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1 Distribución de p: p 0 1/3 2/3 1 Prob. 0,512 0,384 0,096 0,008por consiguiente la esperanza matemática será: E[p] = 0 · 0,512 + 1/3 · 0,384 + 2/3 · 0,096 + 1 · 0,008 = 0,2 y queda resuelto el apartado c). Para el apartado d) escribimos la distribución de p en el caso genérico que será: p 0 1/3 2/3 1 y la esperanza matemática de p será: Prob. Q3 3PQ2 3P2Q P3

2 Problemas de Análisis de Datos. José M. Salinas

E [ p] = PQ2 + 2 P 2 Q + P 3 = P(Q 2 + 2 PQ+ P 2 ) = P( Q + P ) = P
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2- Una variable aleatoria puede tomar los valores 1, 2 y 3 con probabilidades 0,25 0,5 y 0,25 respectivamente. Si para estimar la media de esta variable aleatoria extraemos muestras aleatorias simples de tamaño 3 y utilizamos como estimadores la media muestral y la semisuma de los valores extremos. Queremos confirmar que: a) Los dos estimadores son insesgados y b) Lamedia muestral es más eficiente Realice los cálculos necesarios para verificar estos dos puntos. Solución: En la siguiente tabla damos todas las muestras posibles de tamaño 3, sus probabilidades y los valores que tomarían ambos estimadores en esas muestras: Muestra (1,1,1) (2,1,1) (1,2,1) (1,1,2) (3,1,1) (1,3,1) (1,1,3) (2,2,2) (3,2,2) (2,3,2) (2,2,3) (1,2,2) (2,1,2) (2,2,1) (3,3,3) (2,3,3)(3,2,3) (3,3,2) (1,3,3) (3,1,3) (3,3,1) (1,2,3) (1,3,2) (2,3,1) (2,1,3) (3,1,2) (3,2,1) Prob. 0,015625 0,03125 0,03125 0,03125 0,015625 0,015625 0,015625 0,125 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,015625 0,03125 0,03125 0,03125 0,015625 0,015625 0,015625 0,03125 0,03125 0,03125 0,03125 0,03125 0,03125 Media 1 4/3 4/3 4/3 5/3 5/3 5/3 2 7/3 7/3 7/3 5/3 5/3 5/3 3 8/3 8/3 8/3 7/3 7/3 7/3 2 2 2 2 2 2Semisum. 1 1,5 1,5 1,5 2 2 2 2 2,5 2,5 2,5 1,5 1,5 1,5 3 2,5 2,5 2,5 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Por consiguiente la distribución de la media muestral será:

Temas 7 y8. Estimadores y sus distribuciones. 3

Media Prob.

1 4/3 5/3 0,015625 0,09375 0,234375

2 0,3125

7/3 8/3 3 0,234375 0,09375 0,015625

y la distribución de la semisuma de los valores extremos será: Semisuma Prob. 1 0,0156251,5 0,28125 2 0,40625 2,5 0,28125 3 0,015625

por consiguiente las esperanzas de estos dos estimadores serían: E[Media] = 1 · 0,015625 + 4/3 · 0,09375 + 5/3 · 0,234375 + 2 · 0,3125 + 7/3 · 0,234375 + 8/3 · 0,09375 + 3 · 0,015625 = 2 E[Semisuma] = 1 · 0,015625 + 1,5 · 0,28125 + 2 · 0,40625 + 2,5 · 0,28125 + 3 · 0,015625 = 2 luego ambos estimadores son insesgados. Las varianzas respectivas serían:Var[Media] = 1 · 0,015625 + 16/9 · 0,09375 + 25/9 · 0,234375 + 4 · 0,3125 + 49/9 · 0,234375 + 64/9 · 0,09375 + 9 · 0,015625 - 4 = 0,167

Var[Semisuma] = 1 · 0,015625 + 2,25 · 0,28125 + 4 · 0,40625 + 6,25 · 0,28125 + 9 · 0,015625 - 4 = 0,172 por consiguiente la media es en este caso un estimador más eficiente que la semisuma de los valores extremos.

3- Las puntuaciones en la Escala de...