Problema Calculo

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Complemento de Matemática

UNIDAD Nº 1: DERIVACION E INTEGRACIÓN.
APLICACIONES
La derivada
Vamos a recordar esta noción que se empezó a estudiar en Matemática de primer año.
Definición
Sean f una función real , x un punto interior de su dominio y h distinto de cero tal que x + h
pertenece al dominio de f, la derivada de f en x es
f ' ( x) = lim

h − >0

f ( x + h) − f ( x )
hsiempre que este límite exista.
• h denota el cambio o variación de la variable x (si es positivo representará el
incremento de x).
• f ( x + h) − f ( x ) denota la variación de f cuando h es el cambio de x y se suele
indicar en la forma ∆f ( x, h)
Otra forma alternativa de la definición de derivada en un punto a es

f ( x) − f ( a )
x−a
El número f ' (a ) se interpreta como lapendiente de la recta tangente a la gráfica de
f en el punto (a, f (a )) .
f ' (a ) = lim
x→a

Aplicaciones al comercio y a la economía.
Análisis marginal en Economía

Cuando se usan las derivadas en economía para calcular tasas de cambio de unas
magnitudes respecto de otras, el procedimiento se llama análisis marginal.
El costo marginal: es la tasa de variación del costo C de producción, conrespecto al
número x de unidades producidas.
El ingreso marginal: es la tasa de variación del ingreso R, con respecto al número x de
unidades producidas.
En Cálculo existe la siguiente relación:
∆f ( x, h) = f ( x + h) − f ( x) ≈ f ' ( x)∆x cuando ∆x ≈ 0 . (1)
Utilizaremos esta relación en el caso de funciones de costo y de ingreso.
En economía interesa a menudo saber la variación del costo odel ingreso que se origina por
un cambio unitario en la producción. Es decir, si ∆x = 1, entonces la variación del costo
debida a un cambio unitario en x es:
∆C = C(x + ∆x) – C (x) = C (x + 1) – C(x)
y la variación del ingreso debida a un cambio unitario en x es
Apunte de Teoría y Práctica para las carreras de Lic. En Administración y C.P.N

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Complemento de Matemática

∆R = R(x +∆x) – R (x) = R (x + 1) – R(x)
En la práctica se aproximan estas funciones usando el costo y el ingreso marginal,
respectivamente. Por la relación consignada en (1), se tienen las siguientes aproximaciones:

∆C = C ( x + 1) − C ( x) ≈ C ' ( x)
∆R = R ( x + 1) − R ( x ) ≈ R ' ( x )
O sea que C ' ( x) aproxima el costo de producir la unidad (x + 1)-ésima.
El ingreso marginal R ' ( x) aproxima elingreso de vender la unidad (x + 1)-ésima.
Desde el punto de vista económico, ∆C , permite conocer con exactitud el costo de
producir la unidad (x + 1)-ésima. De la misma manera, ∆R , da el ingreso exacto obtenido
al vender la unidad (x + 1)-ésima. La ventaja de emplear C ' ( x ) , R ' ( x ) , es principalmente
porque el cálculo es más sencillo que el que se tiene que hacer con ∆C y ∆R ,respectivamente, como veremos en un ejercicio posterior.
Resumen de fórmulas y términos comerciales
Términos
básicos
x

p = p( x)
R = R( x)
C = C ( x)
−

−

C = C (x)

P = P( x)

Interpretación

Es el número de unidades producidas o
vendidas
Es la función demanda. Es el precio por unidad.
Es la función ingreso. Es el ingreso producido
al vender por unidades.
Es la función decosto. Es el costo de
producción de x unidades.
Es la función de costo medio por unidad.

Fórmulas básicas

R( x) = xp( x)

−

C ( x)
x
P ( x) = R ( x ) − C ( x)

C ( x) =

Es la función beneficio por la venta de x
unidades.
El punto de beneficio nulo es el número de unidades para el cual
R( x) − C ( x)
En la siguiente tabla presentamos las derivadas de funciones vinculadas alcuadro
anterior y su interpretación:
Marginales
Interpretación
Es el ingreso marginal. Aproxima el ingreso al
dR
R ' ( x) =
vender una unidad adicional.
dx
Es el costo marginal. Aproxima el costo de
dC
C '( x ) =
producir una unidad adicional.
dx
Es el beneficio marginal. Aproxima el beneficio al
dP
P ' ( x) =
vender una unidad adicional.
dx

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