PROBLEMA DE CONJUNTOS

CONJUNTOS

Concepto intuitivo: Un conjunto es una lista, colección o clase de
objetos bien definidos, que pueden ser: números, personas, letras, etc. A
estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Ejemplos
a.
b.
c.
d.
e.

Los números: 2, 4, 6 𝑦 8.
La solución de la ecuación: 2𝑥 − 8 = 0.
Las vocales del alfabeto español: 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢.
Las personas que habitan latierra.
Los alumnos Dante, Cristina y Kevin.

Notación
Los conjuntos usualmente se denotan por letras mayúsculas
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑋, 𝑌, …

Y los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas.
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, …

Relación de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o
no a un conjunto se utilizan los signos ∈ y ∉ respectivamente.
Ejemplo:
𝐴 = {2,4,6,8,10}

Decimos que:2 ∈ 𝐴, 4 ∈ 𝐴, 6 ∈ 𝐴, 8 ∈ 𝐴, 10 ∈ 𝐴
1∉ 𝐴

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS

a. DIAGRAMAS DE VENN-EULER
El conjunto es representado por una curva cerrada y cada elemento
es representado por un punto.
Página

1

b. DIAGRAMA DE LLAVES
Los elementos se encuentran entre llaves. El conjunto va precedido
del nombre del conjunto seguido del signo igual.
𝐴 = {2,4,6,8,10,12}

Conjuntos Finitose Infinitos.
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Intuitivamente finito si
consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar
los diferentes elementos del conjunto es proceso puede acabar. Si no, el
conjunto es infinito.
Ejemplos:
a. Si 𝑀 es el conjunto de los días de la semana, entonces 𝑀 es finito.
b. Si 𝑁 = {2,4,6,8,10, … }, 𝑁 es infinito.
c. Si 𝑃 = {𝑥/ 𝑥𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎}, 𝑃 es también finito aunque sea
difícil contar los ríos del mundo.

Conjunto vacío: Carece de elementos. Se denota por el símbolo 𝜙 ó { }
y se representa por 𝜙 𝐴 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴 }
Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento.

Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos
que se están tratando, (también se le conoce comoReferencial).
Símbolo: 𝑈 y se representa por
𝑈 = {𝑥/𝑥∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∉ 𝐴; 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜}

Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los
mismos elementos. Es decir, 𝐴 es igual a 𝐵 si cada elemento que
pertenece a 𝐴 pertenece también a 𝐵 y si cada elemento que pertenece
a 𝐵 pertenece también a 𝐴.
Se denota la igualdad de los conjuntos 𝐴 y 𝐵 por
𝐴 = 𝐵.

Subconjunto:Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos. Se dice que 𝐴 es un
subconjunto de 𝐵, (𝐴 ⊂ 𝐵), si y solo si todo elemento de A es también
elemento de B.
⊂: símbolo de subconjunto o contenencia, inclusión.

Simbólicamente:

𝐴 ⊂ 𝐵 ⟺ (∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐵)

𝐴 ⊂ 𝐵 se lee 𝐴 es un subconjunto de 𝐵 o

𝐵 ⊃ 𝐴 se lee 𝐵 es un superconjunto de 𝐴

𝐴 ⊄ 𝐵 se lee A no es un subconjunto de 𝐵 o
𝐵 no es un superconjunto de 𝐴Página

Propiedades de la inclusión:
a. El conjunto vacío, 𝜙, se considera subconjunto de todo conjunto.
b. Si 𝐴 no es subconjunto de 𝐵, es decir, 𝐴 ⊄ 𝐵; entonces hay por lo
menos un elemento de 𝐴 que no es elemento de 𝐵.
c. Todo conjunto es subconjunto de si mismo, es decir, si 𝐴 es
cualquier conjunto entonces 𝐴 ⊂ 𝐴.
Nota:
1) Con la definición de subconjunto se puede dar de otra formala
definición de la igualdad de conjuntos; así: Dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 son
iguales, 𝐴 = 𝐵, si y sólo si 𝐴 ⊂ 𝐵 y 𝐵 ⊂ 𝐴.
Simbólicamente:
𝐴= 𝐵 ⟺ 𝐴⊂ 𝐵∧ 𝐵⊂ 𝐴
2) La igualdad de conjuntos es una relación de equivalencia.

Subconjunto propio: Ya que todo conjunto 𝐴 es subconjunto de si
mismo, se dice que 𝐵 es un subconjunto propio de 𝐴, si:
i) 𝐵 es un subconjunto de 𝐴, y
ii) 𝐵 no es igual a 𝐴
Esdecir, 𝐵 es subconjunto propio de 𝐴 si:
𝐵⊂ 𝐴 𝑦 𝐵≠ 𝐴

2

En algunos textos “𝐵 es subconjunto de 𝐴” se denota por 𝐵 ⊆ 𝐴, y “𝐵 es
subconjunto propio de 𝐴”, se denota por 𝐵 ⊂ 𝐴
Determinación de conjuntos
a. Por extensión.- Cuando el conjunto indica explícitamente los
elementos del conjunto. También se llama forma constructiva.
Ejemplos:
1. 𝐴 = {1,3,5,7}
2.
3.

𝐵 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}

b....