Problema De La Aguja De Buffon

𝑷𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒈𝒖𝒋𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒖𝒇𝒇𝒐𝒏
Una aguja de longitud 𝑳 es arrojada al azar en un piso rayado por rectas paralelas entre si una
distancia 𝒅 donde 𝑳 < 𝒅. Encuentra la probabilidad de que al caer, laaguja corte una recta
cualquiera.
Solución. Convenimos en que al caer la aguja al piso el extremo que quede más al sur, sea el extremo
a partir del cual midamos la posición de la aguja; si la agujaqueda paralela a una de las rectas de
manera que ninguno de sus extremos este más al sur, entonces vamos a tomar el extremo oriente
de la aguja como el punto a partir del cual se va a medir la posición dela aguja.

Ahora introduciremos las siguientes designaciones.
1.- Sea 𝒚 la distancia del extremo a partir del cual mediremos la posición de la aguja a la recta que
quede al norte más cerca.

2.- Sea𝜃 el ángulo formado por la aguja y una línea imaginaria paralela a las rectas del piso que pasa
por el extremo a partir del cual mediremos la posición de la aguja. Es claro que:
0≤𝑦≤𝑑 𝑦
0≤𝜃≤𝜋

Por lotanto, todas las posibilidades que tiene la aguja de caer al suelo quedan expresadas en la
siguiente región de ℝ2 . Notemos que dicha región Ω tiene área 𝜋𝑑.

La región rectangular, es considerada comoel espacio de probabilidad de cada posible posición en
que puede quedar la aguja al caer al piso y está representada por los puntos de la forma 𝑃 = (𝜃, 𝑦).
Hay dos posibilidades de la aguja al caer alpiso:
a) Que corte a una de las líneas al caer al piso.
b) Que no corte a ninguna de las líneas.
El siguiente triangulo nos da la relación entre 𝜃 y 𝒚.

Notemos que la aguja cortara a la recta máscercana si 𝒚 ≤ 𝑳 𝒔𝒆𝒏𝜽. Recordemos que 𝑳 < 𝒅.

Por lo tanto, la aguja intersectara a una de las rectas paralelas al piso, si el punto 𝑃 = (𝜃, 𝑦) de la
posición de la recta se encuentre en la regiónsombreada que se indica.

Finalmente, si definimos al evento A como
𝐴 = {𝐴𝑙 𝑐𝑎𝑒𝑟, 𝑙𝑎 𝑎𝑔𝑢𝑗𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑠𝑜}
Entonces
𝜋

∫ 𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 2𝐿
𝑃(𝐴) =
= 0
=
𝜋𝑑
𝜋𝑑
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 Ω
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐴

2...