Problema de un hexágono

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Problema 1: En la esquina inferior izquierda de un hexágono regular de lado 4 metros se coloca un cuadrado de lado 2 metros, tal y como se observa en la parte izquierda de la figura.

Elcuadrado “rueda” sin deslizarse sobre los lados del hexágono y por la parte interior de éste, girando en el sentido de las agujas del reloj y manteniendo siempre un vértice apoyado en un lado delhexágono (el primer movimiento aparece en la figura). Cuando el punto P que es la intersección de las diagonales del cuadrado, vuelve a su posición inicial, ¿Cuántos metros habrá recorrido?[pic]

[pic]

SOLUCIÓN

a) 6 arcos de 90° y radio [pic]

b) 6 arcos de 30° y radio [pic]

para a) se tiene: P=[pic]

para b) se tiene: P=[pic]

De esta manera: [pic] metrosProblema 2: Se considera una célula en el instante t=0. En el instante t=1 la célula puede: bien reproducirse, dividiéndose en dos, con probabilidad [pic], o bien morir con probabilidad [pic].Si la célula se divide, entonces en el tiempo t=2 cada uno de sus dos descendientes puede también subdividirse o morir, con las mismas probabilidades que antes, independientemente uno de otro.Calcular la probabilidad de que en el tiempo t=2 queden dos células vivas

[pic]
Problema 3: Determine todos los pares de enteros positivos (a,b) con [pic]que satisfacen: [pic]

[pic]Solución:

(13,1), (26,2), (39,3), (52,4), (65,5), (78,6), (91,7)

Problema 4: Diremos que un número natural es travieso si su desarrollo binario tiene una cantidad impar de dígitos 1. Porejemplo, 4 es travieso porque su desarrollo binario es 100, que tiene una cantidad impar de dígitos 1; 6 no es travieso, porque su desarrollo binario es 110, que tiene una cantidad par dedígitos 1. Determinar la cantidad de números traviesos que son menores o iguales que 2050.

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t=0

t=1

t=2

[pic]

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