Problema Triangles

Durant els càlculs només sortiran les unitats (els cm i cm2) en moments concrets, on sigui realment necessari, per no embrutar la lectura.
Més d’un cop treballarem amb equacions on ens sortiran arrels quadrades, en tots els casos obviarem que sempre ens quedem amb el resultat positiu, ja que estem treballant amb àrees i longituds.
Tenim un trapezi isòsceles de bases 18cm i 2cm, l’altura (h) delqual és la suma dels diàmetres de les dues circumferències.
R = radi de la circumferència gran
r = radi de la circumferència petita
h = 2R + 2r
L’àrea del trapezi es calcula amb una fórmula que deriva de la dels peral·lelograms (b*h), perquè consisteix en multiplicar l’altura per la mitjana de les seves bases:
A = (B + b) / 2 * h
En el nostre cas l’àrea del trapezi és:
A = (18 + 2) / 2 *(2R + 2r) = 10 * (2R + 2r) = 20R + 20r
El camí pel qual atacarem el problema consisteix en allargar els dos costats isòsceles del rectangle per la banda de la base petita, fins a formar un triangle de base 18cm i d’altura(ht) 2R + 2r + x, on x serà la distància perpendicular a la base petita des de la base fins al vèrtex inferior del triangle. Aquest nou triangle gran serà com a mçinim isòsceles,perquè els dos costats que allarguem els allargarem de la mateixa manera i per tant continuaran essent iguals:

Ara amb la fórmula de l’àrea del triangle tenim que l’àrea del triangle és b * h / 2, i per tant en el nostre cas és:
At = 18 * (2R + 2r + x) / 2 = 9 * (2R + 2r + x) = 18R + 18r + 9x
Si ara calculem l’àrea del petit triangle de baix, el que hem afegit a la figura inicial ens quedaque:
Atp = 2 * x / 2 = x
Si calculem l’àrea del triangle petit de l’altra manera que podem, és a dir substraient l’àrea del trapezi de l’àrea del triangle gran, tenim que:
Atp = 18R + 18r + 9x – (20R + 20r) = -2R -2r +9x
Igualem les dues equacions perquè les dues es refereixen a l’area del triangle, i obtenim:
Atp = x
Atp = -2R -2r +9x
x = -2R -2r +9x
8x = 2R + 2r
x = (R + r) / 4
Per tantara ja sabem quan val x, que és l’altura del triangle petit que hem afegit, i si ara tornem a la fórmula de l’altura i l’àrea del triangle gran i subsituïm la x pel que hem aconseguit en funció de R i r:
ht = 2R + 2r + x = 2R + 2r + (R + r) / 4 = 9(R + r) / 4
At = 18R + 18r + 9x = 18R + 18r + 9(R + r) / 4 = (81R + 81r) / 4
Ara que tenim l’altura i la base del triangle gran en funció de R i r,amb el teorema de Pitàgores calcularem el costat del triangle gran (C), i també el del triangle petit (c) per després poder restar-los i així obtenir el costat del trapezi (k). El procés servirà per calcular els dos costats del trapezi, perquè són iguals ja que és isòsceles.
a2 = b2 + c2
C2 = 92 + (9(R + r) / 4)2 = 92 + (92(R + r)2 / 16) = 92 + (92*R2 + 2*92*R*r + 92*r2) / 16) =
= (24*92 + 92*R2+ 2*92*R*r + 92*r2) / 16
C = √((24*92 + 92*R2 + 2*92*R*r + 92*r2) / 16) = 9/4 * √(24* + R2 + 2*R*r + r2)
c2 = 12 + ((R + r) / 4)2 = 1 + ((R + r)2 / 16) = (16 + R2 + 2*R*r + r2 / 16)
c = √(16 + R2 + 2*R*r + r2 / 16) = ¼ * √(24 + R2 + 2*R*r + r2)
k = C – c = 9/4 * √(24* + R2 + 2*R*r + r2) - ¼ * √(24 + R2 + 2*R*r + r2) = 2 * √(24 + R2 + 2*R*r + r2)
Ara arriba un punt clau, perquè trobarem lamanera d’escriure el radi d’una circumferència en funció de l’altre:

Unint els punt de tangència de cada circumferència amb el costat esquerre del triangle amb el centre de les circumferències i el vèrtex inferior del triangle obtenim dos triangles que són semblants: SLO i NKO, perquè comparteixen un vèrtex i els dos costats adjacents.
Ara, per proporcionalitat entre triangles semblants,trobarem la relació entre radis:
Sabem que SL = R
Sabem que NK = r
Sabem que LO = ht – R = 9(R + r) / 4 – R = (5R + 9r) / 4
Sabem que KO = r + x = r + (R + r) / 4 = (R + 5r) / 4
Ara escrivim la proporcionalitat:
LO / KO = SL / NK
((5R + 9r) / 4) / ((R + 5r) / 4) = R / r
((5*R*r + 9r2) / 4) = ((R2 + 5*R*r) / 4)
5*R*r + 9r2 = R2 + 5*R*r
9r2 = R2
R = √(9r2) = 3r
R = 3r
Ara ja podem...