Problemario de Algebra

PROBLEMARIO DE ALGEBRA SUPERIOR
TEMA: ANÁLISIS COMBINATORIO
1. Evalúe 20P2, 8P5, 7P5, 7P7.
SOLUCIÓN

2. Encuentre n si a) 7 · nP3 = 6 · n+1P3, b) 3 · nP4 = n−1P5.
SOLUCIÓN
a) 7n(n − 1)(n − 2) = 6(n + 1)(n)(n − 1).
Puesto que n ≠ 0, 1 se puede dividir entre n(n − 1) a fin de obtener 7(n − 2) = 6(n + 1), n = 20.
b) 3n(n − 1)(n − 2)(n − 3) = (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5).
Puesto quen ≠ 1, 2, 3 se puede dividir entre (n − 1)(n − 2)(n − 3) a fin de obtener
3n = (n − 4)(n − 5), n2 − 12n + 20 = 0, (n − 10)(n − 2) = 0.
Por lo tanto n = 10.
3. Un estudiante tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4 asignaturas. Encuentre el número de formas distintas como puede hacerlo.
SOLUCIÓN
Puede elegir un idioma de 5 maneras y, por cada una de ellas, hay 4 formasde elegir la asignatura. Por lo tanto, puede hacerlo de 5 · 4 = 20 maneras.
4. De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios, a) no se pueden conceder a una misma persona, b) se pueden conceder a la misma persona?
SOLUCIÓN
a) El primer premio se puede repartir de 10 formas diferentes y, una vez concedido, el segundo se puede repartir de 9 formas,ya que ambos no se pueden conceder a la misma persona.
Por lo tanto, se puede hacer de 10 · 9 = 90 formas distintas.
b) El primer premio se puede repartir de 10 formas diferentes y el segundo de otras 10, ya que ambos se pueden conceder a la misma persona.
Por lo tanto, se puede hacer de 10 · 10 = 100 formas distintas.
5. ¿De cuántas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones?SOLUCIÓN
Cada una de las 5 cartas se puede introducir en cualquiera de los tres buzones.
En consecuencia, se pueden introducir de 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 = 243 maneras.
6. Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para secretario. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres puestos?
SOLUCIÓN
Un presidente se puede elegir de 4, un vicepresidente de 6 y un secretario de2 formas distintas. De aquí que se podrán ocupar de 4 · 6 · 2 = 48 formas distintas.
7. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila?
SOLUCIÓN
La primera persona puede ocupar uno de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de ellos, la segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc. Por lo tanto, se podrán colocar de 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 manerasdistintas.

8. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 libros sobre una estantería?
SOLUCIÓN

9. Encuentre el número de formas como se pueden colocar en fila 4 cuadros de una colección que se compone de 12 pinturas.
SOLUCIÓN
El primer lugar lo puede ocupar uno cualquiera de los 12 cuadros, el segundo uno cualquiera de los 11, el tercero uno cualquiera de los 10 y el cuarto uno cualquiera de los 9restantes.
Por lo tanto, el número de formas es 12 ·11 · 10 · 9 = 11 880.

10. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que éstas ocupen los lugares pares?
SOLUCIÓN
Los hombres se pueden situar de 5P5 maneras y las mujeres de 4P4. Cada una de las colocaciones de los hombres se puede asociar con una de las mujeres.
De aquí que se podrá efectuar de = 5P5 ·4P4 = 5! 4! = 120 · 24 = 2 880 maneras.
11. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe de estar a) en el centro, b) en uno de los extremos?
SOLUCIÓN
a) Como el cuadro en cuestión debe situarse en el centro, sólo quedan 6 cuadros para colocarlos en la fila. Por lo tanto, se puede hacer de = 6P6 = 6! = 720 maneras.
b) Una vez colocadoel cuadro en uno de los extremos, los otros 6 pueden disponer de 6P6 maneras. De aquí que se puede hacer de = 2 · 6P6 = 1 440 maneras.
12. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 9 libros diferentes sobre una estantería de forma que, a) 3 de ellos estén siempre juntos, b) 3 de ellos no estén nunca juntos?
SOLUCIÓN
a) Los 3 libros en cuestión se pueden colocar, entre ellos, de 3P3 formas. Como...