Problemas De Integral Definida Aplicados A La Administracion

MATEMÁTICAS APLICADAS para la Administración, Economía y Ciencias Sociales
Frank S. Budnick (University of Rhode Island)

f(x)
f(x)
f(x) = x^2
f(x) = x^2
f(x) = x^2
f(x) = x^2

10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
1
1
2
2
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
2
2
f(x)
f(x)
x
x
A
A
f(2)
f(2)
f(1)
f(1)

X

X

3
3
1
1
3
3
22
1
1

Figura 15.2 Figura 15.3

Según se va a ver que la integral definida puede interpretarse como un área y, en forma equivalente, como un límite. Considere la función f(x) = x2 que se muestra en la figura 15.2. Suponga que se desea determinar el área sombreada A bajo la curva ente x=1 y x = 3. Una forma es aproximar el área mediante el cálculo de las áreas de un conjunto de rectánguloscontenidos dentro del área sombreada. En la figura 15.3, se han trazado dos rectángulos dentro del área de interés. El ancho en cada rectángulo es de 1, y las alturas son, respectivamente, f (1) y f (2). Utilizando el área de estos dos rectángulos para aproximar el área de interés, se tiene
A* = f (1). (1) + f (2). (1)

En donde A* es el área aproximada. Observeque esta aproximación es una subestimación menor del área real. El error introducido se representa mediante las áreas sombreadas más claras.
En la figura 15.5 se han trazado cuatro rectángulos dentro del área de interés. El ancho de cada rectángulo es igual a ½ y el área total de los cuatro rectángulos se calcula utilizando la ecuación.
A* = f (1). (0.5) + f (1.5). (0.5) + f (2). (0.5) + f(2.5). (0.5)
Comparada con la figura 15.3, el uso de cuatro rectángulos en lugar de dos proporciona una mejor aproximación del área real. El área sombreada más clara es menor en la figura 15.4
En la figura 15.5 se trazaron 8 rectángulos, cada uno de los cuales tiene un ancho de 025. El área de estos rectángulos se calcula utilizando la ecuación
A* = f(1) . (0.25)] + f(1.25) . (0.25) +…+ f(2.75) .(0.25)
Observe que está aproximación es mejor que las anteriores. De hecho, si se continúa subdividiendo el intervalo entre x = 1 y x = 3, haciendo la bases de cada rectángulo menor cada vez, la aproximación se acercará cada vez más al área real.
Se va a ahora a observar este proceso en un sentido más general. Considere la función de la figura 15.6. Suponga que está interesado en determinar elárea debajo de la

Figura 15.4 Figura 15.5

Figura 15.6

Curva pero arriba del eje de las x, entre x = a y x = b. Más aún, suponga que el intervalo se ha subdividido en n rectángulos, que el ancho del rectángulo i es Δ xi y la altura es f(xi). No es necesario suponer que el espesor de cada rectángulo es el mismo. Se puede aproximar el área de interés sumando las áreas de los n rectánguloso
A* = f(x1) Δx1 + f(x2)Δ x2 + … + f(xn)Δ xn
n
= ∑ f(xi)Δxi
i = 1
Como se observó para la función f(x) = x2, la aproximación se vuelve más y más exacta cuando el espesor de los rectángulos se va volviendo cada vez mayor. Se puede formalizar esta observación estableciendo que
n →∞limi=1nfxi Δxi=A






Esto es, el área real bajo la curva A es el valor límite de la suma de las áreas de los n rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito.
Al igual que el signo sumatorio ∑ se aplica cuando se desea la suma de elementos discretos, la integral definida implica la sumatoria para funciones continuas.Y se puede demostrar que el área den la figura 15.6 puede definirse como la integral definida de f(x) entre x = a y x = b, o
abf(x)dx=n →∞limi=1nfxi Δ xi = A

El primer miembro de la ecuación (15.10) presenta la notación de la integral definida. Los valores a y b que aparecen abajo y arriba del signo integral, respectivamente, se llamas límites de integración. El límite inferior de...