Problemas De Matematica Resueltos

I. COORDENADAS RECTANGULARES



1) El extremo de un diámetro de una circunferencia de Centro P1 (-4,1) es P2(2,6) . Hallar las coordenadas de el otro extremo P3(x, y)

Usando la fórmula de punto medio

[pic]

[pic]

en las fórmulas anteriores:

(x, y) = punto medio

(x₁ ,y₁) y (x₂, y₂) son los puntos extremos

x₂ = 2x - x₁

y₂ = 2y - y₁



x₂ = 2(-4) - 2 = -10y₂ = 2(1) - 6 = -4

P3= (-10, -4)





2) Los vértices de un cuadrilátero son P(3,2), P(-4, 5), P(-7,-1), P(0,3). Mostrar con valores numéricos que el perímetro del cuadrilátero, cuyos vértices son los puntos medios de los lados es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero.3) Demostrar que la suma de los cuadrados de las medianas de un triángulo es igual a ¾ de la suma de los cuadrados de sus lados.

[pic]

Esquema con áreas → ( [pic]).










4) Para que valor de x la recta que pasa [pic] y (2,8) es perpendicular al recta que pasa por (-3,-4) Y (6,11)

Dos rectas son perpendiculares si sus pendiente son inversamenteproporcionales y negativa; [pic] entonces [pic]

[pic])

[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]


















































II. LA RECTA



5) Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a [pic]

La ecuación de una recta es [pic]donde m es la pendiente y n el

corte con el eje y.

En este caso tenemos:

[pic]Que si despejamos tenemos:   [pic]

Sabemos que si son paralelas tiene la misma pendiente, entonces nuestra recta será:   [pic]




6) Hallar la ecuación de la recta equidistante de las paralelas:

L1: [pic] y L2: [pic]

Sea elpunto P(x, y), distancia a la recta L1: [pic]

[pic]

Sea el punto P(x0, y0), distancia a la recta L2: [pic]

[pic]

Igualando:

[pic]

[pic]

(-1) [pic]

[pic]



7) Hallar laecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y es perpendicular a la recta 2x +3y +6 = 0.

Y = -2/3 x – 3

[pic]

m = 3/2

(y-y1) = m(x-x1)

(y-3) = [pic] (x+2)

[pic]







8) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos (7, 4) y (-1, -2).




[pic]=[pic][pic]=[pic]

X2 -14x +49 + y2 – 8y +16 = X2 +2x +1+ y2 +4y +4

-16x -12y +60= 0

4x +3y -15 = 0







9) Encuentre la ecuación de la recta a 3 unidades del origen y perpendicular a la recta [pic]

[pic] Entonces su pendiente [pic]

Por tanto, cualquier recta perpendicular a ella tendrá pendiente m1:

m1 [pic]m1=[pic]

m1= [pic]

[pic]

0=[pic]

Hallemos ahora la ecuación de la recta cuya distancia del origen (0, 0) es 3 unidades, usando la fórmula de distancia de un punto a una recta:

��=[pic]

3=[pic]

3=[pic]

3([pic])=[pic]

[pic] y la ecuación buscada es : [pic] y eso es [pic]



[pic]







10) Hallarla ecuación de la perpendicular a la recta 4x +y -1 = 0 que pasa por el punto de intersección de 2x -5y +3 = 0 y x -3y +7 = 0.




Y= -4x +1; m = -4

m1 [pic] ; m1 [pic]




2x -5y +3 = 0

x -3y + 7 = 0

y = 11

x – 3(11) +7 = 0

x = 26 punto de intersección P(26, 11)

-( 1/4)...