Problemas oscilaciones

PROBLEMAS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1) La ecuación de un M.A.S. es x(t) = 2 cos 30t, , en la que x es la elongación en cm y t en s. ¿Cuáles son la amplitud, la frecuencia y el período de este movimiento?
Sabemos que la elongación de un m.a.s. está dada por una ecuación del tipo

aunque pudiera ser igualmente una función seno. Así que bastaría comparar con la ecuación dada,para obtener inmediatamente los resultados:

En cuanto al periodo y la frecuencia, ya que , sería tan simple como


2) En un M.A.S. la elongación en cm es x(t) = 0,4 cos (10t – /3), siendo t el tiempo en s. Calcular la elongación, velocidad y aceleración del móvil en los instantes t = 0 s y t = 1/120 s.
Si la ecuación de elongaciones es , las de velocidad y aceleración se obtienen porsimple derivación:


y sólo habría que usarlas en los instantes propuestos, t = 0 s y t = 1/20 s. En el tiempo t = 0 s, la fase del movimiento vale

y en el tiempo t = 1/20 s, la fase es

de forma que, al tiempo t = 0 s, los valores pedidos son
(1)
(2)
(3)
Entre otras cosas, hay que notar que la posición en ese momento está a mitad de camino entre el centro de equilibrioy la amplitud (0,2 cm es la elongación; la amplitud es 0,4 cm), mientras que la velocidad de 10,88 cm/s no es de ninguna manera la mitad de la velocidad máxima (de ±12,57 cm/s, como es fácil de ver). ¿Qué comentarios pueden hacerse sobre esto?
Veamos ahora los valores de elongación, velocidad y aceleración al tiempo 1/20 s:
(4)
(5)
(6)
de modo que, en este momento, la velocidad estádirigida en sentido negativo y vale la mitad del valor máximo (±12,57 cm/s, como ya se hizo notar). Esto permite responder la pregunta hecha anteriormente: la velocidad del móvil alcanza su valor máximo ( 12,57 cm/s) cuando pasa por el centro de las oscilaciones (x = 0 cm), y va disminuyendo cuando se desplaza hacia el extremo de la oscilación (sea en x = 0,4 cm, sea en x = – 0,4 cm); pero no lohace de forma lineal, ya que la aceleración se va haciendo más grande a medida que el móvil se acerca al extremo. En otras palabras, se pierde la mayor parte de la velocidad cuando se está ya cerca del extremo de la trayectoria: esto puede comprobarse mirando con atención los valores obtenidos en los resultados (1) a (6).

3) La aceleración (en m/s2) de un M.A.S. en función de la elongación (enm) a = 256 x. Expresar esta aceleración en función del tiempo sabiendo que la amplitud de la vibración es de 2,5 cm. Considérese nula la constante de fase.
Tenemos a = – 256 x , con x medido en m y a en m/s2. Como se sabe, en un m.a.s. la ecuación fundamental es


de forma que resulta evidente que

De otro lado, las ecuaciones temporales de elongación, velocidad yaceleración son del tipo

donde  = 0, tal como se dice en el enunciado. Finalmente, conocemos también el valor de la amplitud A = 2,5 cm = 0,025 m; así como la pulsación  = 16 rad/s, de forma que sólo hay que escribir

donde t se mide en s y a se mide en m/s2.

4) La abcisa de un móvil en función del tiempo en s es la función x(t)= 4 sen 10t + 3 cos 10t cm. Expresar su aceleración en función deltiempo y demostrar que se trata de un M.A.S.
Como se sabe, la ecuación fundamental en un m.a.s. es
(1)
donde a es la aceleración y x la elongación del movimiento. Todo movimiento que satisfaga esta ecuación es un m.a.s. que tiene lugar en eje X; en consecuencia, debemos probar que tal igualdad es cierta cuando la posición del móvil está dada por

Para ello, hay que derivar esta funciónde posición dos veces: primero tendremos la velocidad del movimiento, después la aceleración:


Y ahora se trata de comprobar que esta aceleración cumple la condición definida en (1). Basta sacar factor común – 100 en esta última ecuación para que quede:

y el problema está resuelto: se trata de un m.a.s., en el que 2 = 100 y, por tanto,  = 10 rad/s. Aunque no discutiremos esto...