Problemas resueltos de rectas tangentes

Matemáticas

Rectas tangentes

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES
1) (Parte de un problema de Selectividad de Ciencias y Tecnología 2007) Sea f: R 
R la función definida por f(x) = x2. Determina la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
 Punto de tangencia: Si x = 1  f(1) = 12 = 1  Es (1, 1).
 Pendiente de la tangente: Como f ‘(x) = 2x m = f ‘(1) = 2.
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es (usando la ecuación de la recta en
forma punto-pendiente): y – 1 = 2(x – 1)  y = 2x – 1.
2) (Selectividad CCSS 2011) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la
función f(x) = –2e3x en el punto de abscisa x = 0.
 Punto de tangencia: x = 0  f(0) = –2e0 = –2·1 = –2: (0, –2).
 Pendiente: f '(x) = –2·3e3x = – 6 e3x  m =f '(0) = –6e0 = –6·1 = –6
 Ecuación: y + 2 = –6(x – 0)  y = – 6x – 2
3) (Selectividad CCSS) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
f(x) = –2e3x en el punto de abscisa x = 0.
 Punto de tangencia: x = 0  f(0) = –2e0 = –2·1 = –2: (0, –2).
 Pendiente: f '(x) = –2·3e3x = – 6 e3x  m = f '(0) = –6e0 = –6·1 = –6
 Ecuación: y + 2 = –6(x – 0)  y = – 6x – 2
4)

(Parte deun problema de Selectividad de Ciencias y Tecnología 2007) Sea f : (–1,
+)  R la función definida por f(x) = Ln(x + 1) (Ln denota la función logaritmo
neperiano). Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 0.
Hallamos el punto de tangencia. Si x = 0  f(0) = Ln 1 = 0 

1
Hallemos la pendiente de la tangente. f ’(x) =
x 1



Es (0, 0).

f ’(0) = 1.Luego la tangente es: y–0 = 1(x–1)  y = x.

5) (Parte de un problema de Selectividad de Ciencias y Tecnología 2008) Sea f : 
la función dada por f(x) = e 2 x . Justifica que la recta de ecuación y = –2ex es la recta
tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 

1
.
2

Como f(–1/2) = e  El punto de tangencia es (–1/2, e).
Como f '(x) = –2e–2x  La pendiente de la tangente es: m = f'(–1/2) = –2e.
Por tanto, la ecuación de la tangente es:




y – e = –2e  x 

1
  y = –2ex – e + e  y = –2ex
2

6) (Parte de un problema de Selectividad de Ciencias y Tecnología 2009) Considera la
3
curva de ecuación y = x – 3x. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto
de abscisa x = –1.
Como f(–1) = (–1)3 – 3(–1) = 2, el punto de tangencia es (–1, 2).
Y como f '(x) =3x2 – 3  la pendiente de la tangente es m = f '(–1) = 0 (es horizontal).
Luego la ecuación es: y – 2 = 0·(x + 1)  y = 2.

IES Fernando de Herrera – Prof. R. Mohigefer
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Rectas tangentes

7) (Selectividad de Ciencias Sociales 2005) Halle la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de la función f definida de la forma f ( x)  1  L(2 x 1) en el punto de
abscisa x = 1. (L denota logaritmo neperiano)
Del punto de tangencia, donde la recta y la curva se tocan, conocemos x=1. La
segunda coordenada de dicho punto, al ser un punto de f, será, por tanto:
f(1) = 1+L(2–1) = 1 +L1 = 1+0 = 1  El punto es (1, 1)
Para la pendiente de la tangente, necesitamos la función derivada:
2
2
2
2
=
 f ' (1) 
f ' ( x)  0 
 = 2 será la pendiente,puesto que
2x  1
2x  1
2 1 1
x = 1 es la primera coordenada del punto de tangencia.
Aplicando la ecuación punto-pendiente de la recta, la tangente será: y – 1 = 2(x – 1)
 y = 2x – 2 +1  y = 2x – 1
3x  7
,
x2
a) Calcule los puntos de la gráfica de dicha función donde la tangente tiene
pendiente –1.
Según la interpretación geométrica de la derivada, la pendiente de la recta
tangente a unafunción en el punto (x, f(x)) vale f '(x). Por el enunciado del
problema, dicha pendiente debe valer –1. Veamos el valor de x para que eso
ocurra:
3( x  2)  (3x  7)
3x  6  3x  7
1
1
f '(x) =
=
= 
= –1 
=1
2
2
2
( x  2)
( x  2)
( x  2)
( x  2) 2

8) (Selectividad de Ciencias Sociales, anterior a 2002) Dada la función f(x) =

 1 = (x+2)2  1 = x2+4x+4  0 = x2+4x+3 

x

 4  16  12
=...