Procesamiento de señales

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA

“TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO.
TRANSFORMADA Z.
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER.”
PROCESAMIENTO DE SEÑALES

PROFESOR DE LA MATERIA:
M.C JULIO CESAR HERRERA GARCIA

ELABORADO POR:
HUMBERTO FLORES REALPOZO
ROMEO ALEJANDRO JUAREZ SOLIS

INTRODUCCIÓN
Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT)
La transformada de Fourier X(w) de unaseñal en tiempo discreto x[n] se calcula mediante la expresión:

y su inversa es,

La DTFT X(w) toma valores complejos y es una función continua y periódica en w. El periodo es 2p, representándose normalmente en el intervalo [ -p,p]. Al evaluar numéricamente la DTFT se presentan dos problemas:
1. La secuencia x[n] puede tener un número infinito de puntos
2. X(w) es una funcióncontinua de la frecuencia w y debe ser discretizada para trabajar en un procesador digital.
Para resolver el primer problema consideraremos que la secuencia de entrada está formada por un vector de L puntos siendo 0 para los valores comprendidos entre L+ 1 e infinito.
Para el segundo, consideraremos que X(w) se evalúa en un numero N finito de frecuencias equidistantes en el intervalo [-p,p] conincrementos de 2p/N, es decir se consideran el conjunto discreto de frecuencias wk = 2pk/N con k=0,1,...N-1. Si se elige N lo suficientemente grande los valores X[2pk/N] se aproximan a la función X(w) continua origen del muestreo.

Muestreando la DTFT se obtiene la expresión correspondiente a la trasformada discreta de Fourier DFT que en MATLAB se implementa mediante el algoritmo conocido como FFT(Fast Fourier Transform).

Frecuencia de Muestreo
La frecuencia de muestreo (sampling rate, sample rate o sampling frequency - tasa de muestreo) define el número de muestras por segundo (o por otra unidad) tomados de una señal continua para hacerla una señal discreta (de analógica a digital). La frecuencia de muestreo puede ser medida en hertz (Hz) o múltiplos suyos.

La frecuencia demuestreo para una señal de determinada frecuencia debe de ser mayor que el doble de la señal a esto se le conoce como la frecuencia de Nyquist y también para evitar el aliasing.

Transformada Z
La Transformada Zeta (TZ) es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio de Procesamiento de Señales Digitales, como son el análisis y proyecto de Circuitos Digitales, losSistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras.
La TZ es un ejemplo más de Transformada, como lo son la Transformada de Fourier para el caso de tiempo discreto y la Transformada de Fourier y Laplace para el caso del tiempo continúo. La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias oecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.

Dada una sucesión { f[n] } se define como su Transformada Zeta a la serie de Laurent F(z)

F : Transformada Zeta de la Sucesión f
f : Antitransformada de F

Nótese que en la definición de Transformada Zeta:
1.- En la presentación de la serie se empieza con las potencias positivas
2.- El centro del desarrollode Laurent es a = 0
3.- Se ha tomado por simplicidad y sin perder generalidad en el análisis a la Sucesión:
f[0], f[1], f[2], f[3],..., f[n],... en vez de f[0], f[T], f[2T], f[3T],..., f[kT],... que representa un cambio de escala: n = kT .
Es decir:

Un caso particular de esta definición es la llamada Transformada Zeta unilateral también llamada Causal que corresponde a las sucesiones quetienen todos los términos de la serie de potencias positivas nulos, es decir la serie sólo está compuesta por los términos de potencias negativas y el término independiente.

A la Transformada Zeta general se la denomina también como Transformada Zeta bilateral .

La Transformada Zeta unilateral es la de mayor aplicación y es esencialmente similar a la general salvo detalles que se estudiarán...