Procesos Estocásticos De Renovación, Difusión Y Gausiana

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De la Fuerza Armada Bolivariana
Núcleo Coro
Cátedra: Procesos Estocásticos




















Alumnos: Profesor:
V.R Ing. Medina A.
C.Y
G.N





Ing. Sistemas 7 Nocturno Sección “A”


Santa Ana deCoro, Julio de 2010
Procesos de Renovación

Se presenta otra generalización del proceso de Poisson. Se considera ahora que los tiempos de interarribo no son necesariamente exponenciales. A tales procesos de saltos unitarios se les conoce como procesos de renovación, y en general dejan de cumplir la propiedad de Markov.

Suponga que se pone en operación un cierto componente o artículo cuyaduración de vida útil se modela mediante una variable aleatoria T1. Una vez que el componente falla, se reemplaza o renueva con otro componente cuyo tiempo de vida es T2, y así sucesivamente. La colección de variables aleatorias T1, T2, . . . representa la sucesión de tiempos de vida de componentes puestos en operación uno tras otro. Esto se ilustra en la Figura 6.1.






En este contexto esnatural suponer que las variables que modelan los tiempos de vida son no negativas, independientes y con la misma distribución de probabilidad. Un proceso de estas características se conoce con el nombre de proceso de renovación. Observe que exactamente en los tiempos en los que se efectúan las renovaciones, el proceso reinicia probabilisticamente. Empezaremos por dar una primera definiciónformal de un proceso de renovación basada en lo recién mencionado.






Otra forma equivalente de definir a este proceso es a través del registro de los tiempos reales en los que se observan las renovaciones, o bien a través del conteo de renovaciones observadas hasta un tiempo cualquiera. Estos puntos de vista alternativos se definen a continuación.






Función y Ecuación deRenovación
Otra de las funciones que es natural desear conocer en un proceso de renovación es el número promedio de renovaciones efectuadas hasta un tiempo t cualquiera.

A tal función se le llama función de renovación, y se le denota por Λ(t), es decir, Λ(t) = E(Nt). En general no es fácil encontrar una forma explicita para esta función. Sin embargo, se cuenta con la siguiente ecuación integral general.Observe que la ecuación (6.1) puede escribirse como Λ(t) = F(t) + (Λ* F)(t). Debido a que se condiciona sobre el valor del primer tiempo de renovación, a la técnica de la demostración de este resultado se le llama a veces análisis del primer paso.


Ejemplo

Para el proceso de Poisson, el promedio de renovaciones o saltos al tiempo t es:
Λ(t) = λt.Puede comprobarse directamente que esta función satisface (6.1)
con F(t) = 1 − e−λt.

A una ecuación integral del tipo (6.1) se le llama ecuación de renovación, pues algunas funciones de interés en la teoría de la renovación la cumplen. La definición general aparece a continuación.

[pic]

Puede demostrarse que si h(t) es una función acotada, entonces existe una única solución g(t) a laecuación de renovación (6.2) que cumple con la condición de ser acotada sobre intervalos finitos y esta dada explícitamente por






en donde _(s) es la función de renovación. La demostración de este resultado general puede ser encontrado en el texto de Karlin y Taylor [19]. Acerca de la función de renovación tenemos la siguiente expresión general.


[pic]


Demostración.Por ejemplo, cuando los tiempos de interarribo tienen distribución exp(λ) se tiene que







Usando esta expresión y la formula recién demostrada puede corroborarse que en este caso Λ(t) = λt.

Es posible demostrar que para un proceso de renovación la variable Nt tiene momentos finitos de cualquier orden, y entonces en particular la suma anterior es siempre convergente....