Procesos estocasticos

PROCESOS ESTOCÁSTICOS
LISTA DE EJERCICIOS 4

1. A partir del siguiente esquema de red de colas,

1

2

?

?

p1
1

2

p2 1 p1

1
?

p2

?

sabiendo que cada nodo se comporta como una M/M/1, determinar qué restricciones deben veri…car p1 y p2 para que exista ergodicidad. a) Suponiendo servidores ocupados. b) En el caso general. 2. a) Plantea las ecuaciones diferencialesde Kolmogorov (forward )para la Cadena de Markov a tiempo continuo cuyas tasas de transición son
n n

= =

(n^c)

8n

0 8n

0

b) Dibujar el grafo e identi…car de que modelo estocástico se trata. c) Plantear las ecuaciones de balance para el sistema en régimen estacionario. d ) Obtener la expresión explícita para la probabilidad de sistema vacío. 3. Dada una cadena de Markov deparámetro continuo y homogénea, sea Ti tiempo transcurrido en el estado i antes de que se produzca un salto fuera de él. Probar que Ti es exponencial de parámetro qi . qi = l m 1 Pii (t) = t
0 Pii (t)

t!0

4. Supongamos que una industria tiene M máquinas y s personas encargadas de la reparación, con s < M . Supongamos que Cada máquina opera durante una longitud de tiempo distribuídaexponencialmente (tiempo medio = 1/ ) antes de romperse. Cuando una máquina se rompe, el primer operario disponible la repara (si todos están ocupados, la máquina espera en una cola). El tiempo de reparación está exponencialmente distribuído (con media 1/ ). Los tiempos de ruptura y de reparación son variables mutuamente independientes. 1

a) Sea X(t) número de máquinas descompuestas en el instante t. Probarque X(t) es un proceso de nacimiento y muerte y hallar las tasas correspondientes. b) Hallar las probabilidades límite para todos los estados. 5. Hallar a) las ecuaciones backward y forward para un proceso de nacimiento y muerte y particularizarlo para uno de nacimiento puro. b) las probabilidades de transición Pij (t) si consideramos un proceso de nacimiento puro con j = j ; j 0 (proceso deYule). 6. Hallar
n

en el caso de una cola M/M/1.

7. Sea X(t) un proceso de nacimiento puro. Asumamos que P (ocurra un evento en (t; t + h) j X(t) = impar) = 1 h + o(h) P (ocurra un evento en (t; t + h) j X(t) = par) = 2 h + o(h) Considerando X(0) = 0, hallar las siguientes probabilidades a) P1 (t) = P (X(t) = impar) b) P2 (t) = P (X(t) = par) 8. El departamento de hombres de unos grandesalmacenes tiene un sastre para hacer los ajustes a la ropa. Los clientes que necesitan ajustes siguen una distribución de Poisson con media 24 clientes/hora. El tiempo necesario para realizar el ajuste se distribuye exponencialmente con media 2 minutos. Calcular: a) El número promedio de clientes en la sala de ajuste. b) Tiempo medio de espera de un cliente en la sala de ajuste. c) La probabilidad de queun cliente espere los servicios del sastre más de 10 minutos. d ) Porcentaje de tiempo que el sastre permanece ocioso. 9. A un aeropuerto llegan 20 aviones por hora. Cada avión tarda 4 minutos en aterrizar. Determinar el número de pistas necesario para que al llegar el avión la probabilidad de que tenga que esperar no sea superior a 0.1 (las llegadas son Poisson y los tiempos de aterrizaje sedistribuyen exponencialmente). 10. Sea Xt una cadena de Markov en tiempo continuo cuyo generador es Q= con >0

a) Escribir las ecuaciones forward y resolverlas para las probabilidades de transición pij (t), i; j = 1; 2. b) Resolver la ecuación Q = 0 y comprobar que pij (t) ! 2
j

si t ! 1

11. Imagina cuatro personas en una casa, de las cuales algunas están sanas y otras presentan ciertaenfermedad. Supóngase que las personas enfermas se curan a una tasa de , mientras que dos personas se encuentran según una tasa de y se transmite la enfermedad si una de las dos está enferma y la otra es susceptible a contraerla. a) Formula un modelo de cadena de Markov para este sistema. b) Supóngase, para simpli…car, que curarse es imposible, = 0. ¿Cuánto tiempo pasa desde que se infecta la...