Producto de inercia

Teorema de los ejes paralelos para el POI
        Cuando se quiere determinar el producto de inercia de un vehículo, será necesario calcular o medir primero el producto de inercia de los componentes del vehículo, y entonces trasladar estos valores al producto efectivo alrededor de los ejes del vehículo.
Para trasladar el producto de inercia de un objeto relativo a los ejes X', Y' y Z' a losejes X, Y, Z, hacemos:
        Pzx = P z'x' + M z x
        Pzy = P z'y' + M z y
donde
        M = masa del objeto
        x, y, z = coordenadas de los ejes X, Y, Z del CG del objeto
        Este teorema, es más difícil de utilizar que el equivalente del momento de inercia, porque se requieren dos fórmulas, y porque cada término tiene una polaridad asociada (signo). El siguiente ejemplo ilustraeste tipo de traslación:
Ejemplo para la ilustración: sean z = -4, x = +5 e y = -6 in. El producto de inercia del objeto alrededor de los ejes X', Y' y Z' es Pz'x' = -2 lb in s², Pz'Y' = 0 lb in s². El peso del objeto es de 4 lbs. Calcular el producto de inercia efectivo del objeto realtivo a los ejes X, Y y Z.
Comparación entre el MOI y el POI
        Existen algunas semejanzas y algunasdiferencias entre esta fórmula de traslación y la fórmula para trasladar el momento de inercia a un eje paralelo diferente:
1. Ambas fórmulas son dimensionalmente similares:

(masa) (longitud)² = (masa) (longitud)² + (masa) (longitud)²

No obstante, el signo de los valores de (masa) (longitud)², sólo pueden ser positivos para el momento de inercia, mientras que puede ser tanto positivo comonegativo para el producto de inercia.
2. En el caso del momento de inercia, era posible ignorar el MOI del objeto alrededor del CG, si el término de traslación era grande. Esto no es así para el producto de inercia. Si el POI del objeto alrededor del su CG no es cero, no puede ignorarse, incluso si el valor del término de la traslación, Mxy, es grande, ya que valores pequeños de producto deinercia, pueden ser muy significativos si un término grande se substrae de otro, dejando una pequeña diferencia.
3. En el caso del momento de inercia, el valor del MOI a través del CG de un objeto. siempre tiene un valor mayor que cero. Es imposible que el producto de inercia de un objeto sea cero; así la fórmula se convierte en Pzx = M z x.
Ejes y planos de simetria
        El producto deinercia de un cuerpo homogéneo, respecto de cualquier par de ejes perpendiculares, es igual a cero si en plano determinado por cualquiera de los ejes y el tercer eje coordenado, es un plano de simetria del cuerpo. Esta regla es dificil de explicar con palabras. Los ejemplos de la derecha, ilustra algunas formas simétricas que tiene Pzx = 0.

Círculo de Mohr
El ingeniero alemán Otto Mohr, desarrollóen el siglo XIX una representación gráfica de la relación entre el MOI y el POI. Una copia de esta ayuda se reproduce en el manual SAWE y se muestra más abajo. Con la ventaja de disponer de un PC, ya no son necesarias las soluciones gráficas en los problemas de ingenieria, pero el círculo de Mohr es aún útil para visualizar el efecto de la inclinación.
El círculo de Mohr's para el momento deinercia
Dados:
1. Los valores del momento de inercia  Ix' Iy de un objeto, alrededor de su centro de gravedad, donde el centro de gravedad cae sobre el origen de un conjunto de ejex X-Y mutuamente perpendiculares.
2. El valor correspondiente al producto de inercia, Pxy'
El cículo de Mohr se construye utilizando el esquema geométrico y la información siguientes:
1. La localizaciónde los ejes principales cuyos momentos de inercia son máximos y mínimos con productos de inercia cero.
2. Los valores máximo y minimo correspondientes a los valores del momento de inercia.
3. Los momentos y productos de inercia para cualquier otro conjunto de ejes A-B mutuamente perpendiculares, cuyos orígenes esten sobre el centro de gravedad de objeto dado, y rotados C grados respecto...