Producto notable

Productos notables
Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Porejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Binomio al cuadrado

Ecuación: (a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

Ejemplo positivo: (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9

Ejemplo negativo: (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Ecuación: (a + b) · (a − b) =a2 − b2

Solución: (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25

Binomio al cubo

Ecuación: (a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3

Ejemplo positivo: (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = x 3 + 9 x2 + 27 x + 27

Ejemplo negativo: (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Ecuación: (a + b + c)2 = a2 +b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

Problema: (x2 − x + 1)2

Solución: (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1

= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x

= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1

➢ Suma de cubos

Ecuación: a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

Solución: 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

➢ Diferencia de cubos

Ecuación: a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab +b2)

Solución: 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

➢ Producto de dos binomios que tienen un término común

Ecuación: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Problema: (x + 2) (x + 3) = x2 + (2 + 3) x + 2 · 3 = x2 + 5x + 6

Factorización

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto deotros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b) (a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y lafactorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

Factorizar un polinomio

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos . Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
➢ Binomios
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
➢ Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
➢ Polinomios
1. Factor común

Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacaresto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos
ab + ac +ad = a (b + c + d)
ax + bx + ay + by = a (x + y) + b (x + y) = ( x + y) (a + b) y si solo si el polinomio es 0 y el tetranómio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos....