Producto escalar y vectorial

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Producto Escalar Y Vectorial
Producto escalar o punto
DEFINICION
En matemáticas el producto escalar (también conocido como producto interno o producto punto) es una funcióndefinida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se hadefinido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.
GENERAL
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es unaforma sesquilineal, hermítica y definida positiva, i.e., una operación : V \times V \longrightarrow K donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que estádefinido, que tiene que cumplir:
1. < ax + by,z > = a < x,z > + b < y,z > (lineal en la primera componente),
2. = \overlineā + \overline{b} (semilineal en la segundacomponente),
3. = \overline{} (hermítica),
4. \geq 0, y < x,x > = 0 si y sólo si x = 0 (definida positiva),
donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalarescualesquiera y \overline{c} es el conjugado del complejo c.
Es de destacar que si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., \mathbb{R}), la propiedade de ser sesquilineal seconvierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por (\cdot|\cdot) o por \bullet.
Un espacio vectorial sobre el cuerpo\mathbb{R} o \mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo se dice que es un espacio de hilbert, y si ladimensión es finita se dirá que es un espacio euclideo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera: ||x|| := \sqrt{
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