Producto vectorial

MATRICES Y VECTORES EN Rn
Producto vectorial
De…nition 1 Sean ! = (x1 ; x2 ; x3 ) y ! = (y1 ; y2 ; y3 ) vectores en R3 . El producto x y 3 vectorial de ~ y ~ es el vector en R denotado y de…nido por: x y ~ x ~ = (x2 y3 y x3 y2 ) ~ + (x3 y1 i x1 y3 ) ~ + (x1 y2 j x2 y2 ) ~ k

Observación: 1. El producto vectorial también es conocido como producto cruz.y es exclusivo de R3 : 2. Para efectos decálculos, esta de…nición es poco práctica, por tal razón es posible hacer el cálculo del producto vectorial usando la siguiente de…nición memotécnica ~ x la cual también puede escribirse así ~ x donde a b c d Ejemplos 1. Dados los vectores ~ = ( 1; 2; 3) x su producto cruz es, ~ i 1 2 2 1 ~ j 2 1 3 1 ~ k 3 1 ~ i 1 2 3 1 ~+ j 1 2 2 1 4) ~ k: ~ k y ~ = (2; 1; 1) ; y = ad bc ~= y x2 x3 y2 y3 ~ i x1x3 y1 y3 ~ + x1 x3 j y1 y3 ~ k ~= y ~ ~ ~ i j k x1 x2 x3 y1 y2 y3

~ x

~ = y

=

= ( 2 + 3) ~ i = ~ i 7~ j 5~ k:

(1 + 6) ~ + ( 1 j

Teorema 1 (propiedades del producto vectorial) Sean ~ , ~ y ~ vectores en R3 y x y z r; s 2 R: Entonces 1. ~ x ! ~ = 0 R3 : x

1

2. ~ (~ x x 3. r(~ x 4. ~ x

~) = 0 y ~ ) = (r~ ) y x

y

~ (~ y x

~ ) = 0: y

~=~ y x ~+~ y x

(r~ ) : y ~z y (~ + ~ ) x y ~=~ z x ~+~ z y ~: z

(~ + ~) = ~ y z x

5. Si ~ y ~ son vectores no nulos en R3 y x y k~ x

es el ángulo entre ellos, entonces ! ~ = 0 R3 : y

~ k = k~ k k~ k sin y x y

6. ~ y ~ son vectores paralelos si y sólo si ~ x y x

7. AREA DE REGIONES PLANAS. Si ~ y ~ son vectores no nulos en R3 ; entonces x y k~ ~ k es igual al área del paralelogramo determinados por ~ y ~: x y x y 8. VOLUMEN DE SÓLIDOS. Si ~ , ~ y ~ son vectores no nulos en R3 ; entonces x y z j ~ (~ ~ )j es el volumen del sólido determinado por ~ , ~ y ~. z x y x y z Demostración (Ejercicio). La propiedad 2. permite a…rma que el producto vectorial de ~ y ~ es un vector que es x y ortogonal a ~ y a ~ : x y

Algunas aplicaciones de los vectores en R2 y R3 :
Ecuaciones de rectas y planos en elespacio ! ! Proposición. Sean L una recta en el espacio, P0 (x0 ; y0 ; z0 ) un punto …jo sobre L y ! v = (a; b; c) un vector no nulo paralelo a L : Si P (x; y; z) es un punto arbitrario sobre L; entonces ! (x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 ) + t (a; b; c) ; (Ecuación vectorial de L ) ! El vector v es llamado vector direccional de L : Usando las de…niciones de suma, multiplicación por escalar e igualdad devectores, obtenemos que x = x0 + at; y = y0 + bt; z = z0 + ct ! (Ecuaciones paramétrica de L )

Si a; b y c son no nulos, se tiene ! x x0 y y0 z z0 = = (Ecuación simétrica de L a b c Demostración (Ejercicios) Proposición. Sean una recta en el plano, P0 (x0 ; y0 ; z0 ) un punto …jo sobre y n = (a; b; c) un vector no nulo normal a : Si P (x; y; z) es un punto arbitrario sobre ; entonces a (x otambién ax + by + cz = d donde d = ax0 + by0 + cz0 : 2 x0 ) + b (y y0 ) + c (z z0 ) = 0 (Ecuación cartesiana de )

Proyección de un vector sobre otro. De…nition 2 Sean ~ y ~ vectores no nulos en R3 . Llamamos proyección de ~ sobre ~ al x y y x vector de…nido y denotado por Proy~ ~ = x y ~ ~ x y ~ x k~ k k~ k x y

Observación: 1. La proyección de ~ sobre ~ es un vector paralelo al vector ~ . y x x2. El vector ~ dado por u u = ! Proy! ! x x y se le llama la componente ortogonal de ~ sobre ~ : Se demuestra fácilmente que ~ y y x u Proy~ ~ son ortogonales, es decir, ~ Proy~ ~ = 0: y u y x x Distancia entre puntos y rectas, entre puntos y planos, entre rectas, entre rectas y planos y entre planos. ! ! Proposición. Sean L una recta en el espacio y ! = (a; b; c) el vector direccional de L y v !P0 (x0 ; y0 ; z0 ) un punto …jo en R3 : La distancia d de la recta L a P0 está dada por ! d = PP0 ProyP!0 ! v P

Comentario. Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas primero determine un punto P0 sobre una de ellas y use el resulatdo dado en la anterior proposición. Proposición. Sean una recta en el espacio y de ecuación ax + by + cz = d y P0 (x0 ; y0 ; z0 ) un punto …jo en R3 : La...