Productos notables

Productos notables

1. Definición
2. Ejercicios para la clase
3. Laboratorio N° 01
4. División algebraica
5. Estudio de cada uno de los métodos
6. Laboratorio N° 02
7. Problemas resueltos
8. Tareas

Definición

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Sonaquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

|Binomio de Suma al Cuadrado |• Diferencia de Cubos |
|( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 |a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2) |
|Binomio Diferencia alCuadrado |• Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio |
|( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 |( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac |
|Diferencia de Cuadrados |= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac) |
|( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2|• Trinomio Suma al Cubo |
|Binomio Suma al Cubo |( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c) |
|( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 |• Identidades de Legendre |
|= a3 + b3 + 3 ab (a + b)|( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2) |
|Binomio Diferencia al Cubo |( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab |
|( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 |• Producto de dos binomios que tienen un término común |
|Suma de dos Cubos|( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab |
|a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) | |

 Ejemplos :

1. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2

Solución :

[pic]

Aplicando producto notable en "a" que es una suma de binomios

x2 – 2x+ 1 = ( x – 1)2

Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2

[pic]

Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :

(x3 – 1)2 + (x2 + 1)2

(x3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1

(x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2

= 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)

2. Simplificar :

M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12Solución

Ordenando los productos notables tenemos :

( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

* **

Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :

( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :

( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6

Remplazando en laexpresión inicial tenemos :

( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

Ordenando los factores tenemos :

( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

♦

aplicando productos notables en "♦ " :

( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.

3. Simplificar :

[pic]

Solución

Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos:

[pic]

Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

K = a2 - b2 Rpta.

4. Hallar el valor de P :

[pic]

Solución :

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]⋄ P = [pic]⋄ [pic]⋄ P = 91/2 ⋄ [pic]

• P = 3 Rpta.
1. Hallar el valor de E :...