Prof.Matematica Y Fisica

Proporcionalidad

Razón
Es una comparación de una cantidad respecto a otra cantidad semejante, el resultado es un numero abstracto, es decir no tiene unidades.

Proporcion
Es la igualdad de dos razones.

Representacion
Si las razones a/b y c/d son iguales, la proporción puede representarse como:
a/b = c/d.

Denominacion
Se lee “ a es a b como c es a d ” o también “ a y c sonproposicionales a b y d.

Terminos De Una Proporcion
Son elementos que forman la proporción: Si a/b = c/d

Extremos a y d
Medios b y c
Antecedentes a y c
Consecuentes b y d

Propiedades De Las Proporciones
a) En una proporción pueden invertirse las razones


Si a/b = c/d, entonces b/a = d/c. Por ejemplo

2/3 = 8/12 3/12 = 12/8
b) El producto de losextremos es igual al producto de los medios.

Si a/b = c/d, entonces ad = bc. Por ejemplo

Si 5/7 = 10/14 ( 70 = 70

c) En una proporción a cada antecedente se puede sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente sumar su respectivo antecedente.

Si a/b = c/d, entonces (a+b) / b = (c+d) / b o a/ (a+b) = c / (c+d)

Ejemplo: Si 4/5 = 20/25 ( 4+5/5 =20+25/25 o 4/4+5 = 20/25+20


d) En una proporción a cada antecedente se puede restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente restar su respectivo antecedente.

Si a/b = c/d, ( a-b/b = c-d/d o a/b-a =c/d-c

Ejemplo : Si 7/3 = 14/6 ( 7-3/3 = 14-6/6 o 7/3-7 = 14/6-14

e) En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes, es a la suma de los consecuentes, como uno cualquierade sus antecedentes es a su respectivo consecuente.

Si a/b = c/d = e/f = ..... ( a+c+e+ ... / b+d+f+ ... = a/b = c/d = e/f =...

Ejemplo : 1/2 = 3/6 = 12/24 ( 1+3+12/2+6+24 = 1/2 = 3/6 = 12/24.

Division Interna De Un Segmento
Consiste en localizar un punto en el interior de un segmento, tal que forme dos segmentos que están en una razón dada, m/n

A P B

AP/PB =m/n



Solucion Grafica
Primer caso. (m/n ( 1)

Datos : AB y m n



Segundo Caso. (m/n ( 1)

Datos : AB y n m



Tercer caso. (m/n = 1)
m
Datos : AB y n

Solucion Analitica
Datos : Coordenadas de A y B y relación m/n

A P B
x1 x x2

AFIRMACIONES RAZONES

AP/PB = m/n .............Formando proporciones
( AP+PB/PB = m+n/n ............. Propiedad de las proporciones
AB/PB = m+n/n ............. Suma de segmentos
PB = n AB/m+n ............. Despejando AB
x = x2 – PB ............. Según el gráfico
Si m = n PB = AB/2


Divicion Externa De Un Segmento
Consiste en localizar un punto en la prolongación de un segmento, tal que formen dos segmento que estén en unarelación dada m/n.

Primer Caso. (m/n ( 1)

Datos : AB y m n

Solucion Grafica



Solucion Analitica
Datos : Coordenadas de los puntos A y B y la relación m/n ( 1

Afirmaciones Razones

AQ/BQ = m/n ................ Formando Proporciones
( AQ-BQ/BQ = m-n/n ................ Propiedad de las proporciones
AB/BQ = m-n/n ................ Suma de segmentos
BQ = nAB/m-n ................ Despejando BQ
x = x2 + BQ ................ Por gráfico


Segundo caso. Si (m/n ( 1)

Datos : AB y m n


Solucion Grafica


Solucion Analitica
Afirmaciones Razones

AQ/BQ= m/n ................. Formando Proporciones
(AQ – BQ/BQ= m-n/n ................. Propiedad de las Proporciones
-AB/BQ= -(n-m)/n................. Operación de segmentos
BQ= n AB/n-m ................. Despejando BQ
x= x2 - BQ

Tercer Caso. Si m/n = 1

Datos: AB y m = n

Solucion Grafica


Solucion Analitica
No existe localizado un punto en el exterior del segmento por que lar rectas trazadas son paralelas.

Division Amonica De Un Segmento
Consiste en dividir un segmento interno y externamente de una misma...