PROFESOR MILITAR

Cálculo

III

(0253)

Semestre 3-2009

TEMA 3
INTEGRALES
DOBLES Y
TRIPLES Y SUS
APLICACIONES

Semestre
3-2009

José Luis Quintero
Octubre 2009

Integrales
Dobles y Triples

U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

Prof.
José Luis Quintero

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al
estudiante y facilitar suentendimiento en el tema de integrales dobles y triples y sus
aplicaciones.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de
repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y
propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,
también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos.Se ha tratado de ser lo
más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en
Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora
del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:
quinterodavila@hotmail.com.

INDICE GENERAL
U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO III (0253) - TEMA 3Integrales
Dobles y Triples
Prof.
José Luis Quintero

3.1.

La integral doble

246

3.2.

Propiedades de la integral doble

248

3.3.

Cálculo de la integral doble

249

3.4.

Cambio de variables en la integral doble

251

3.5.

Momentos y centro de masa

255

3.6.

Momento de inercia

257

3.7.

Ejercicios resueltos

258

3.8.

La integraltriple

273

3.9.

Cambio de variables en la integral triple

275

3.10.

Coordenadas cilíndricas

275

3.11.

Coordenadaas esféricas

277

3.12.

Aplicaciones de las integrales triples

279

3.13.

Ejercicios resueltos

282

3.14.

Ejercicios propuestos

296

LA INTEGRAL DOBLE
U.C.V.

F.I.U.C.V.

Integrales
Dobles y Triples
Pág.: 246 de 305

CÁLCULOIII (0253) - TEMA 3

Prof.
José Luis Quintero

3.1. LA INTEGRAL DOBLE
Sea F una región de área A del plano “xy”, F incluye su frontera (Región Cerrada).
Subdividimos al plano “xy” en rectángulos mediante rectas paralelas a los ejes de coordenadas
(figura 1). Partiendo de algún lugar conveniente (tal como el extremo superior izquierdo de F),
numeramos sistemáticamente todos los rectángulosque están dentro de F. Supongamos que
hay “n” de tales rectángulos y los designamos con r1, r2,...,rn.

Figura 1. Intuición geométrica del área para la integral doble

Se utilizan los símbolos A(r1), A(r2),...., A(rn) para las áreas de estos rectángulos. El
conjunto de los n rectángulos {r1, r2,...., rn} se llama una subdivisión ∆ de F. La norma de la
subdivisión que generalmente se indicacon ∆, es la longitud de la diagonal del mayor
rectángulo de la subdivisión ∆. Suponga que z = f(x, y) es una función definida para todo (x,y)
de la región F. La definición para la integral doble de f sobre la región F es análoga a la
definición de integrales para funciones de una variable. Se elige un punto arbitrario en cada
uno de los rectángulos de la subdivisión ∆, designando lascoordenadas del punto en el
rectángulo ri con (ξi,,ηi). Ahora formamos la suma:
f(ξ1,η1). A(r1) + f(ξ2,η2). A(r2) + ...... + f(ξn,ηn) A(rn).

LA INTEGRAL DOBLE
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Integrales
Dobles y Triples
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José Luis Quintero

En forma compacta
n

∑

f(ξi , ηi )A(ri ) .

(1)

i =1

Esta suma es una aproximación a laintegral doble que se definirá; y se denomina
suma integral. Las sumas tales como (1) pueden formarse para subdivisiones con cualquier
norma positiva y con el iésimo punto (ξi,ηi) elegido en forma arbitraria en el rectángulo ri.
Definición 1.
n

lím

n → +∞

∑

f(ξi , ηi )A(ri ) = L

i =1

si dado un
ξ > 0; ∃ δ > 0/

∑

n
i =1

f(ξi , ηi ).A(ri ) − L < ε

para toda...