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CIENCIAS DE LA COMPUTACION I

2007

GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES
Gramáticas
Las gramáticas formales definen un lenguaje describiendo cómo se pueden generar las cadenas del
lenguaje.
Una gramática formal es una cuadrupla G = (N, T, P, S) donde
- N es un conjunto finito de símbolos no terminales
- T es un conjunto finito de símbolos terminales
N∩T=∅
- P es un conjuntofinito de producciones
Cada producción de P tiene la forma
α → β, α = ϕAρ y β = ϕωρ
ϕ, ω, ρ ∈ (N ∪ T)* y A es S ó A ∈ N
- S es el símbolo distinguido o axioma S ∉ (N ∪ T)
Restringiendo los formatos de producciones permitidas en una gramática, se pueden especificar
cuatro tipos de gramáticas (tipo 0, 1, 2 y 3) y sus correspondientes clases de lenguajes.
Gramáticas regulares (Tipo 3)
Generanlos lenguajes regulares (aquellos reconocidos por un autómata finito). Son las gramáticas
más restrictivas. El lado derecho de una producción debe contener un símbolo terminal y, como
máximo, un símbolo no terminal. Estas gramáticas pueden ser:
- Lineales a derecha, si todas las producciones son de la forma
A ∈ N ∪ {S}
A → aB ó A → a
B∈N
a∈T
(en el lado derecho de las producciones elsímbolo no terminal aparece a la derecha del símbolo
terminal)
- Lineales a izquierda, si todas las producciones son de la forma
A ∈ N ∪ {S}
A → Ba ó A → a
B∈N
a∈T
(en el lado derecho de las producciones el símbolo no terminal aparece a la izquierda del símbolo
terminal)
En ambos casos, se puede incluir la producción S → ε, si el lenguaje que se quiere generar contiene
la cadena vacía.
Porejemplo las siguientes gramáticas G1 y G2, son gramáticas regulares lineales a derecha y lineales
a izquierda respectivamente, que generan el lenguaje L = {a2n / n ≥ 0}
G1 = ({A, B}, {a}, P1, S1)
G2 = ({C, D}, {a}, P2, S2)
donde P1 es el cjto.
donde P2 es el cjto.
S1 → ε
S2 → ε
S1 → aA
S2 → Ca
A → aB
C → Da
A →a
C→ a
B → aA
D → Ca

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2007Algoritmo para obtener la gramática regular desde el autómata finito
Existe un algoritmo que permite obtener una gramática regular que genera un lenguaje regular dado
a partir del autómata finito que reconoce ese lenguaje. Los pasos a seguir son los siguientes:
1) Asociar al estado inicial el símbolo distinguido S.
2) Asociar a cada estado del autómata (menos el estado inicial) un símbolo noterminal. Si al
estado inicial llega algún arco asociar también un símbolo no terminal (además del símbolo
distinguido). No asociar símbolo no terminal a aquellos estados finales de los que no salen
arcos.
3) Para cada transición definida δ (ei, a) = ej, agregar al conjunto de producciones, la producción A
→ aB, siendo A y B los símbolos no terminales asociados a ei y ej respectivamente. Si ej esun
estado final, agregar también la producción A → a. Si ej es el estado inicial (tiene dos símbolos
asociados, el distinguido y un no terminal), utilizar el símbolo no terminal (de esta manera se
evita que el símbolo distinguido aparezca a la derecha de una producción).
4) Si el estado inicial es también final agregar la producción S → ε.

Ejemplo 1:
Derivación de la gramáticacorrespondiente al lenguaje del ej. 4 del apunte de autómatas finitos
L4 = { x / x ∈ {0, 1}* y x contiene la subcadena 00 ó x contiene la subcadena 11}
L4 = L(M4Dmin), M4Dmin = < {p0, p1, p2, p3}, {0, 1}, δ, p0, {p3}>
δ está definida por el siguiente diagrama de transición de estados
A
S

p1

0
1

p0

0, 1

0

p3 C

0

1
p2

1

B
Como al estado inicial no entran arcos, se asociaúnicamente el símbolo distinguido S.
La gramática correspondiente a este lenguaje es
G = ({A, B, C}, {0, 1}, P, S), siendo P el siguiente conjunto:
S → 0A ya que δ (po, 0) = p1 y S y A están asociado a p0 y p1 respectivamente.
S → 1B ya que δ (po, 1) = p2 y S y B están asociado a p0 y p2 respectivamente.
A → 0C
A→0
A → 1B
B → 0A
B → 1C
B→1
C → 0C
C→0
C → 1C
C→1

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