Programacion Clasica Metodos Matematicos

Tema 2: Programación Clásica.
Bibliografía:
Arranz, M. R; Pérez González, M. P. (1997): Matemáticas

para la Economía. Optimización y Operaciones Financieras. Ed. AC.
Balbas, A; Gil, J. A (1987): Programación Matemática. Ed. AC. Balbas, A; Gil, J. A; Gutiérrez, S; Heras, A; Vilar, J. L. (1990):

Programación

Matemática

y

modelos

económicos:

un

enfoque teórico-práctico.Ed. AC.
Caballero Fernández, R; González. Pareja, A. Y Triguero Ruiz, F. (1992): Métodos Matemáticos para la Economía. Ed. Mc Graw Hill. Madrid.

CONTENIDOS 1. Optimización libre. Condiciones necesarias y óptimo. 2. Optimización restringida. 2.1. Resolución mediante eliminación de variables. 2.2. Lagrangiana. Definición y propiedades. 2.3. Condiciones necesarias de extremos: Teorema de Lagrange.2.4. Condiciones suficientes de extremos. condición suficiente de

2.5. Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange: Análisis de sensibilidad.

1. Optimización libre. Condiciones necesarias y suficiente de óptimo.
1.1 Introducción.

condición

En esta sección estudiaremos el problema de hallar los óptimos de una función en el subconjunto abierto de IR en el que estádefinida; no existen, por tanto, restricciones de ninguna clase en los programas que vamos a estudiar, coincidiendo el conjunto factible con el dominio de la función objetivo. Los programas sin restricciones no son los más idóneos para la modelización de problemas económicos: piénsese, por ejemplo, en la no negatividad de magnitudes económicas básicas, tales como las cantidades producidas o demandadasde los bienes y sus precios; o en la escasez que siempre impondrá restricciones a cualquier problema de asignación de los mismos. Sin embargo, dos tipos de razones nos impulsan a estudiar estos programas: por un lado, razones históricas, ya que los programas sin restricciones fueron los primeros en ser resueltos, aplicando los métodos del Cálculo Diferencial; por otro lado, razones de tipopedagógico, ya que los programas sin restricciones son relativamente sencillos de resolver. Además, a menudo es posible eliminar las restricciones de un programa modificando el número de variables, por lo que las técnicas específicas de programas sin restricciones también pueden aplicarse a la resolución de programas con restricciones.
n

1.2

Condiciones

necesarias

y

condicionessuficientes

de

optimalidad local. Al igual que hacíamos en el caso de funciones reales de una variable real,

f : D ⊆ IR → IR , procederemos a determinar los puntos extremos,

dentro del conjunto de puntos críticos, obteniendo condiciones necesarias y suficientes de optimalidad local de óptimo. Por problemas de “manejo” ya que trabajamos con funciones reales de

n variables reales, no vamos aestudiar los óptimos en la frontera, solo
consideraremos los óptimos en el interior del dominio. Recordemos que si f : D ⊆ IR → IR , llamábamos punto crítico a todo

x ∈ IR / f ´( x) = 0 . Entre los puntos críticos estaban los extremos (máximos y
mínimos de la función f ). Tenemos entonces una condición necesaria para que un punto x0 sea un punto extremos de f : f ´( x0 ) = 0 .

x0

x0Gráficamente, esto significa que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) en el punto

( x , f ( x ))
0 0

es cero, es decir, la

3

recta tangente a la gráfica de la función f en ese punto es paralela al eje de abcisas (horizontal). Pero esta condición no es una condición suficiente. Veámos un ejemplo:

f ( x ) = x3

⇒

f ´( x ) = 3 x 2 = 0 ⇔

x=0x=0

es un punto crítico.

La tangente en x = 0 es horizontal pero x=0 no es un punto extremo

Luego, no todo punto crítico es un punto extremo. Los puntos críticos que no son extremos se llaman puntos de silla. Una vez que hemos obtenido los puntos críticos, necesitamos una condición suficiente, para saber si son puntos extremos. Esta condición la obtenemos a partir de la derivada...