Programacion

´ EL METODO DE GAUSS El m´todo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma: e A · x = b, (1)

con A ∈ Md×d , b ∈ Rd , consiste de dos fases bien diferenciadas: 1.Eliminaci´n: En esta fase se transforma el sistema orignial (1) en un sistema equivao lente (es decir, cuya soluci´n coincide con la del sistema orignial): o U · x = c, (2)

con la peculiaridad de que U es unamatriz triangular superior. 2. Sustituci´n regresiva: Se resuelve el sistema (2) obtenido en la etapa anterior o despejando en primer lugar la inc´gnita xd en la ultima ecuaci´n, seguidamente se hacelo o ´ o propio con xd−1 en la pen´ltima ecuaci´n y, procediendo de este modo se termina por despejar u o x1 en la primera ecuaci´n. Esto es f´cilmente implementable debido a la estructura triangularo a superior de la matriz U . Seguidamente se detallan los algoritmos para ambas etapas. 1. Eliminaci´n: Se producen matrices A(1) := A, A(2) ,..., A(d) =: U y vectores b(1) := b, o b ,..., b(d) =: ccon la siguiente propiedad: para k = 1, ..., d el sistema
(2)

A(k) · x = b(k) es equivalente al sistema original. Adem´s, si k = 2, ..., d entonces las inc´gintas x1 , ..., xk−1 a o han sidoeliminadas de las ecuaciones k, ..., d. La matriz A(k+1) y el vector b(k+1) se obtienen a partir de A(k) y b(k) del siguiente modo: • Para las ecuaciones i = 1, ..., k no modificamos el sistema, es decir,hacemos, para j = 1, ..., d, (k) (k+1) (k) (k+1) bi := bi . := aij , aij • Eliminamos xk en las ecuaciones i = k + 1, ..., d. Para ello se pone lik := aik /akk y restamos a la fila i la fila kmultiplicada por lik . En las inc´gnitas ya elimidadas produce o ceros: (k+1) aij := 0, si j = 1, ..., k, y en las restantes (j = k + 1, ..., d) corresponde a: aij
(k+1) (k) (k)

:= aij − lik akj ,

(k)(k)

bi

(k+1)

:= bi − lik bk .

(k)

(k)

A la vista de la descripci´n anterior, queda claro que no siempre es posible llevar a cabo el o (k) proceso de eliminaci´n: puede ser que...