Progresiones

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Progresiones

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS PROGRESIONES
SUCESIÓN Y SERIE
Una sucesión es una lista de números que siguen una regla determinada:

{ an } = { a1 , a2 , a3 , ⋅ ⋅ ⋅ ai , ⋅ ⋅⋅, an }
Formalmente, las sucesiones se definen como un tipo especial de función de números naturales N:

n

cuyo dominioes el conjunto de

{ an } : N → R
Ejemplos de sucesiones:

{ an } = { 5, 10, 15, 20, 25, ⋅ ⋅ ⋅ } 2) { an } = { 0.20, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40, ⋅ ⋅ ⋅ } 3) { an } = { 1, 2, 4, 8, 16, ⋅ ⋅ ⋅ } 4) { an } = { 3, − 3, 3, − 3, 3, ⋅ ⋅ ⋅ }
1) El término i-ésimo

ai de una sucesión es el que va acompañado de la letra que indica el valor del número

en determinado término. Por ejemplo, en la primerasucesión el primer término término

(a2 ) es 10, el tercer término (a3 ) , es 10. El término enésimo o general es a n .
{ an } =  1 , 1, 3 , 2, 5 , ⋅ ⋅ ⋅  ,  
2 2 2 
el término enésimo o general es:

(a1 )

es 5, el segundo

Ejemplo. En la sucesión:

n an =   . 2

Para conocer los términos de una sucesión, se sustituye el valor de n desde 1 hasta el valor que se desee.Una sucesión es infinita cuando tiene un número infinito de términos. Ejemplo: an = 1, 6, 11, 16, 21, ⋅ ⋅ ⋅

{ } {

}

Una sucesión es finita cuando tiene un número determinado de términos. Ejemplo: an = 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31

{ } {

}

Una sucesión que se aproxima cada vez más a un cierto número, se llama convergente. Ejemplo:

{ an } =  1, 1 , 1 , 1 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅   
 2 34 5 

(se acerca a cero)

Una sucesión que no tiene límite es divergente. Ejemplo: an = 5, 10, 15, 20, 25, 30, ⋅ ⋅ ⋅ (no se acerca a ningún número)

{ } {

}

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Una sucesión es creciente si cada término de la sucesión es mayor que el anterior. Ejemplo: an = 3, 6, 9, 12, 15,18, ⋅ ⋅ ⋅

{ } {

}

Una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior. Ejemplo: an = 1, − 1, − 3, − 5, − 7, ⋅ ⋅ ⋅

•

{ } {

}

Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. Ejemplos: Monótona creciente: an = 8, 16, 24, 32, 40, ⋅ ⋅ ⋅

{ } { Monótona decreciente: { an } = {

}

25, 3 25, 4 25, 5 25, 6 25, ⋅ ⋅ ⋅

}

Una serie es lasuma de los elementos de una sucesión. La suma puede ser finita o infinita. Los elementos de las series pueden ser números, letras o una combinación de ambas. Una serie puede representarse de dos formas:
• •

Enlistando los elementos con los signos entre los elementos. Usando la llamada notación sigma Σ , que implica la sumatoria de todos los elementos, con sólo el término general y el rango dela suma indicada.

( )

Ejemplo. Las siguientes expresiones representan la misma serie:

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10
sn = ∑ (− 1)
n=1 10 n+1

n

Se define como serie infinita a la suma de los términos de la sucesión:

sn = ∑ an = a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ai + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅
n =1

∞

en términos prácticos, se denota como Una serie finita se define como: Ejemplos. 1)Dada la sucesión infinita:

sn = ∑ an .
i

sn = ∑ an = a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ai
n=1

1  ,⋅ ⋅ ⋅   2 4 8 16 32  1 1 1 1 1 1 sn = ∑ a n = + + + + + ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ 2 4 8 16 32 2 an = { − 15, − 10, − 5, 0, 5, 10, 15, 20 }

{ an } =  1 , 1 , 1 , 1 , 

2) Dada la sucesión finita:
8

sn = ∑ an = (− 15) + (− 10) + (− 5) + 0 + 5 + 10 + 15 + 20
n=1

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Toda secuencia ordenada de números reales recibió el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y las geométricas.

PROGRESIÓNES ARITMÉTICAS...