Propiedad De Las Derivadas

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

FUNCIÓN DERIVADA. PROPIEDADES
Si una función f ( x ) tiene derivada en todos los puntos de un conjunto A Œ D, se dice que f es
derivable en A. En este caso, se puede definir una nueva función se denotapor f ' ,

df
o Df y se
dx

f ( x + ∆x) - f (x )
.
∆x
∆x →0

llama función derivada de f dada por f ' : A → Ñ con f ' (x) = lim

Aplicando la definición de derivada se obtienen las siguientes reglas de derivación que indican
como obtener la función derivada de las funciones elementales más utilizadas.

f (x) = c

⇒

f '( x ) = 0

⇒

f '( x ) = ax a −1

f ( x ) = ax con a> 0

⇒

f '( x ) = ax ln a

f (x) = e x

⇒

f '( x ) = e x

f ( x ) = loga x con a > 0

⇒

f ( x ) = ln x

⇒

f ( x ) = senx
f ( x ) = cos x
f ( x ) = tgx

⇒

1
1
loga e =
x
x ln a
1
f '(x ) =
x
f '( x ) = cos x
f '( x ) = −senx

f (x) = x

a

⇒
⇒

f ( x ) = arcsenx

⇒

f ( x ) = arccos x

⇒

f ( x ) = arctgx

⇒

f '( x ) =

f '( x ) =
f'( x ) =
f '( x ) =

f '( x ) =

1
2

cos x
1

= 1 + tg2 x

1 − x2
−1
1 − x2
1

1 + x2

Propiedades
1. Si f y g son dos funciones derivables entonces f + g también lo es y (f + g)'( x ) = f '( x ) + g '(x ) .
2. Si f es una función derivable y t un número real cualquiera entonces t.f también lo es y
(t. f )'( x ) = t f '(x )
3. Si f y g son dos funciones
(f . g)'( x ) = f'( x )g( x ) + f ( x )g '(x ) .

derivables,

4. Si f y g son dos funciones derivables

entonces,

con g(x) ≠ 0

f. g

entonces

también
f
g

lo

es

y

también lo es y

'

⎛f ⎞
f '(x )g(x ) − f (x )g '( x)
⎜ ⎟ (x) =
⎝g⎠
( g(x))2

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

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Unidaddidáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

5. Si f es derivable en x y g lo es en f(x) entonces g f es derivable en x
(g f )'( x ) = g '(f (x )) f '( x ) . Esta propiedad se conoce con el nombre de Regla de la cadena.

y

6. Si f es una función inyectiva y derivable en x con f '( x ) ≠ 0 entonces la función inversa f −1 esderivable en f ( x ) y (f −1 )'(f (x )) =

1
.
f '( x )

Aplicando estas propiedades y las reglas de derivación se puede obtener fácilmente la función
derivada de las funciones más habituales.
Ejemplo 6: Hallar la función derivada de las siguientes funciones:
a) f (x ) = x 2 + senx

b) f (x ) = x 3 −

1
x

,
3

2

derivando cada sumando se obtiene, f '( x) = 2 x + cos x

+ x2

,2

escribiendo la función de la forma f (x ) = x 3 − x −2 + x 3 y derivando cada sumando queda

f '( x) = 3x 2 − (−2)x −3 +
c) f (x ) = x 3e2 x

d) f (x ) =

,

2

2 3 −1
2
2
x
= 3x 2 + 3 + x
3
3
x

−1
3

= 3x2 +

2
x3

+

2
33 x

aplicando la regla de derivación del producto queda, f '( x) = 3x 2e2 x + x 3 2e2 x = 3x 2e2 x + 2 x 3e2 x

.

x3 − x + 1
,aplicando la regla de derivación del cociente queda
−x + 2
f '( x ) =

e) f (x ) = ln

(3x 2 − 1)(− x + 2) − ( x 3 − x + 1)(−1)
2

(− x + 2)

= −2 x

3

+ 6 x2 − 1

(− x + 2)2

x +1
1 x − 1 − (x + 1)
−2
−2
=
=
, aplicando la regla de la cadena queda, f '( x ) =
2
x +1
x −1
( x − 1)( x + 1) x 2 − 1
( x − 1)
x −1

f) f (x) = esen3x

, aplicando la regla de la cadenaqueda,

f '(x ) = 3 cos 3x esen3x

⎧1
⎪
Ejemplo 7: Hallar la función derivada de f (x ) = ⎨ x − 2
⎪2
⎩x − 4

si x < 2
si x ≥ 2

Para cualquier valor de x < 2 , aplicando la reglas de derivación se tiene f '( x ) =

−1
(x − 2)2

.

Para cualquier valor de x > 2 , derivando el polinomio se tiene f '(x ) = 2x .
Para x = 2, veamos en primer lugar si la función es continua...