propiedades de las relaciones

Propiedades de las Relaciones
Las relaciones binarias, es decir definidas sobre un único conjunto A, satisfacen ciertas propiedades.
*Reflexividad
Una relación binaria R sobre un conjunto A sedice que es reflexiva, cuando cada elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir:
R es reflexiva ⇐⇒ ∀a (a ∈ A =⇒ a R a)
Consecuentemente, si podemos encontrar, al menos, un elemento a en elconjunto A que no esté relacionado consigo mismo, la relación R no es reflexiva.
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 1),(1, 2),(2, 2),(3, 3),(3, 2),(4, 4)} una relación definida en A.
Solución:En efecto, R es reflexiva ya que para cada a ∈ A, el par (a, a) está en la relación. La figura anterior nos muestra el dígrafo y la matriz de R.

*Simetría
Una relación binaria R sobreun conjunto A es simétrica si cada vez que a está relacionado con b se sigue que b está relacionado con a. Es decir,
R es simétrica ⇐⇒ ∀a, b ∈ A (a R b =⇒ b R a)
O sea, si podemos encontrar doselementos a y b en A tales que a esté relacionado con b y b no lo esté con a, entonces R es no simétrica.
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 3),(3, 2),(3, 3)} una relacióndefinida en A.
Solución:

En efecto, R es simétrica ya que para cada par (a, b) ∈ R, el par (b, a) también pertenece a R.




*Asimetría
Una relación binaria R definida en un conjunto A se diceque es asimétrica si cada vez que a R b se sigue que b R a. Es decir,
R es asimétrica ⇐⇒ ∀a, b ∈ A (a R b =⇒ b R a)
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 2),(1, 4),(2, 3),(2, 4),(3, 1),(4, 3)}una relación definida en A.
Solución:
R es, en efecto, asimétrica ya que para cada par (a, b) que pertenece a R, el par (b, a) no pertenece.




*Antisimetría
Una relación binaria R sobre unconjunto A se dice antisimétrica si cuando (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, entonces a = b. Es decir:
R es antisimétrica ⇐⇒ ∀a, b ∈ A(a R b ∧ b R a =⇒ a = b)
Ejemplo Sea A = {1, 2, 3, 4} y sea R = {(1,...