Propiedades de las transformaciones lineales

Propiedades de las transformaciones lineales: núcleo (kernel) y recorrido
Teorema: Si T: VW es una transformación lineal entonces:
(a) T(0)=0
(b) T(-v)=-T(v) para todos los v en V(c) T(v-w)=T(v)-T(w) para todos los v y w en V
Demostración. Sea v cualquier vector en V. debido a que 0v=0 se tiene:
T (0)= T(0v)= 0T (v)= 0
Lo cual prueba (a).
También T (-v)= T ((-1) v)= (-1) T (v)= T (v), lo cual prueba (b).
Por último v-w=v+ (-1) w; por tanto,
T (v-w)= T (v+ (-1) w)=T (v)+ (-1) T (w)
=T (v)-T (w)

Definición. Si T: VW es una transformación lineal, entonces el conjuntode vectores en V que T aplica hacia 0 se conoce como núcleo (kernel o espacio nulo) de T; este espacio se denota por ker(T). El conjunto de todos los vectores en W que son imágenes bajo T de al menosun vector en V se conoce como recorrido de T; este conjunto se denota como R (T).
Ejemplo.
Supóngase que T: VW es la transformación cero. Supuesto que T aplica todo vector hacia 0, ker(T) =V. yaque 0 es la única imagen posible bajo T, R (T) consta del vector 0.

Sea T:Rn Rm la multiplicación por
a11 a12 a13 . . . a1n
A= a21 a22 a23 . . .a2n
am1 am2 am3 . . . amn

El núcleo de T consta de todos los
x1
X= x2x3
Que son vectores solución del sistema homogéneox1 0
X= x2 = 0...