Propiedades de los determinantes

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Los determinantes tiene muchas propiedades especiales, alguna de la cuales las enunciamos aquí: Sea A una matriz cuadrada 1) Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces entonces

A  0.

2) Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A,

B A.

3) Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( ocolumna) de A por un número real k, entonces B  k A . 4) Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces

 

 

A  0.
5) Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A, entonces Ejemplos: - Sin desarrollas de deduce “Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entoncesB  A

A  0 .”
1  2 3 A  0 0 0    4  8 6  

Toda la fila es 0 por lo tanto Det A = 0

- Se deduce “Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces

B   A ”.

Se intercambió columna 1

1 0 2  2 0 1   3 7 8    8 7 3   B   A      4  1 4  4  1 4    
Se intercambió columna 3
- Se factoriza dos de cada entrada dela primera fila “Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces B  k A ”.

 

 

 4 8 2  2 4 1  0 3 4  2  0 3 4      1 7 8   1 7 8     

- Como la primera y segunda columna son iguales entonces se deduce “Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces

A  0. ”

 2 2 3  1 1 5  0    6 6 2  

EJERCICIOS I
En los siguientes problemas establezca por qué la igualdad es verdadera sin calcular los determinantes dados.

 3 2 1  3 2 1   1 2 4    0 7 8  1)      0 7 8   1 2 4    

2)

 2 4  1 2   1 3  2   1 3    

3 8 3)  2  1

4 9 3 2

0 0 0 0

6 4 0 3  6

2  1 4)  7  6

3 4 2 1 8 0 41

1 2   1 5   7 1   6 6

3 4 2 1 8 0 4 1

1 5  1  6

2    1 3 2  1 3 4 1 5    4 1 5 5)      2  4  3  0 2 1    

  1 1 2 0 1 2     6) 2  1 3  1  1 3      3  1 4  2  1 4    

3 1 3   7)  2 0  2  0   6 4 6  

3 2 1    8) 6 8 2  0   3 4 1   

USO DE TRANSFORMACIONES DE RENGLON Y COLUMNA2 0 Encuentra A si A   1   3 3 0 4 5 1 6   0 2 3   2 0  5

Ahora vamos a proceder a transformar renglón y columna de manera de introducir 0. Es importante encontrar donde hay un 1 porque esto evita el uso de fracciones. Si no hay 1 en la matriz original utilizando los teoremas:

Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un númeroreal k, entonces B  k A .

 

 

Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A, entonces

B  A.

En esta matriz tenemos 1 en la primera columna entonces:

2 0 A 1   3

3 0 4 5 1 6   0 2 3   2 0  5

 R3
 2

Introducimos un 0 en la primera fila -2 R3 +R1 R1

-2 2 0

0 3 3

4 0 4

-6 4 -2

0 0 A 1   3

3 4  2 5 1 6   0  2 3  3  2 0  5   R4

Escribo la respuesta en la fila 1 Introducimos un 0 en la cuarta fila 3 R3 + R4 R4
3 -3 0 0 -6 2 0 2 -6 9 -5 4

0 0 A 1  0

3 4  2 5 1 6   0 2 3   2 6 4 

Escribo la respuesta en la fila 4

Ahora calculo el determinante por la columna 1 así:

00 A 1  0

3 4  2  3 4  2  3 4  2 5 1 6  31    1 1 5  1 6   5  1 6      0 2 3  2  6 4  2  6 4       2 6 4 

 C1  5
 3 4  2 5  1 6    2  6 4   

Ahora convierto en 0 el 5 así:

5 C2 + C1

C1

Escribo la respuesta en la columna 1.
 6  C3

20 3 23

- 5 - 30 5 2 0 - 28

4  2  23  0  1 6  Ahora convierto en 0...