Propiedades De Los N Meros Enteros

Propiedades de los números enteros
Este artículo trata sobre las propiedades algebraicas avanzadas de los números enteros. Para una exposición básica, véaseNúmero entero.
Los números enteros, junto con sus operaciones de suma y multiplicación forman lo que en álgebra se conoce como anillo.
Estructura de los números enteros[editar]
Los enteros con la adición y la multiplicación forman unaestructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de losnúmeros racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.
Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados ycomparados.
Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación,  constituye un anilloconmutativo y unitario. Por otro lado, , donde  es el orden usual sobre , es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante  (el origen del uso de Z esel alemán Zahl, «número» o «cantidad»).
Construcción formal de los enteros a partir de los naturales[editar]
Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo , de donde puede asociarse el número  con el par ordenado  de números naturales. Sin embargo, debido a que  y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado  al restar , nopuede decirse simplemente que . Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado  al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados  y  puedan ser asociados al mismo número entero si:
(1).
El único problema es que la ecuación (1) noestá definida en  cuando . Pero esto se remedia fácilmente, al notar que

equivale a

Ciertamente  para cualesquiera , de tal manera que puede definirse una relación  sobre  mediante:

si y solo si

La relación  es una relación de equivalencia que produce en  una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:

Siadmitimos el cero como número natural, podemos definir:
 | info=para todo 
Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces
 | info=para todo 
Luego el cero puede definirse como:
 | info=para todo 
El escoger  y  (o  y  para cuando no se acepta ), para las definiciones anteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez deestos pares ordenados. Nótese que, de cualquier forma,
 | info=para todo 
Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:
(2)
de todas las clases de equivalencia producidas por la relación  sobre el producto cartesiano . Esto es,  es el conjunto cociente:
(3).
Definición de adición y multiplicación sobre números enteros[editar]
Se define la adición () sobre  como sigue:
 |info=para todo 
teniendo previamente definida la adición sobre . La definición anterior no depende de los representantes  escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

La multiplicación () sobre  se define como sigue:
 | info=para todo 
teniendo previamente definida la multiplicación sobre . La definición anterior está correctamente definida debido aque:


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