Propiedades Relaciones Binarias1

PROPIEDADES
DE LAS
RELACIONES BINARIAS

Prof. Lic. Teresa Fernández

Propiedad reflexiva

R

A2

Sea R una relación binaria R en A, (A

Diremos que R es reflexiva si

a A, a R a

En N la relación R definida por: “x R y
es reflexiva ya que

).

x divide a y”

x N, x R x porque x divide a x

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Propiedad reflexiva

Si la relación R es reflexiva
entonces la diagonalpertenece a la relación. En
la matriz asociada, la
diagonal es toda de 1.

A

1 0 0 1
MR

1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1

Si la relación R es reflexiva entonces
todo elemento tiene una flecha que
comienza y termina en sí mismo (un
bucle).
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Propiedad arreflexiva

Diremos que R es arreflexiva si

a A : aRa

0 0 0 1
M

1 0 1 0
R

0 0 0 1
0 1 0 0

En N la relación R definida por:

“a Rb

a < b”.

Es arreflexiva ya que ningún número natural es menor que sí mismo.
Prof.Lic. Teresa Fernández

Propiedad no reflexiva

Diremos que R es no reflexiva si

a A / aRa

1 0 0 1
MR

1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 1

En N la relación R definida por: “a R b

a es el doble de b”.

es no reflexiva ya que (1, 1) R puesto que 1 no es el doble de 1
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Propiedad simétrica

Diremosque R es simétrica si

a, b A: a R b

bRa

1) En Z la relación R definida por:

“a R b
es simétrica ya que si a R b

a – b es múltiplo de 2”.
hay p Z tal que a – b = 2p

b – a = 2(-p) con -p

Z

bRa

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Propiedad simétrica

Si la relación R es
simétrica sobre A
entonces los pares
relacionados se reflejan
respecto a la diagonal
principal, en la matriz
asociada.

A

1 1 01
MR

1 0 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1

Si la relación R es simétrica entonces
todo par de elementos que tiene una
flecha la tiene en las dos direcciones

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Propiedad asimétrica

Diremos que R es asimétrica si

No hay
pares que
se reflejen
a través de
la diagonal

1 1 0 1
M

0 0 0 0
R

0 1 1 0
0 0 0 1

a, b A: a R b

bRa

No hay
flecha de ida
y vuelta en
ningún par
de
elementos.En Z la relación R definida por: “a R b
a < b”. es asimétrica ya
que si a< b , b por lo tanto no será menor que a.

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Propiedad no simétrica

Diremos que R es no simétrica si

Hay pares
que se reflejen
a través de la
diagonal y
otros que no.

1 1 0 1
M

0 0 1 0
R

0 1 1 1
0 0 1 1

a b / aRb

bRa

No hay
flecha de ida
y vuelta en
todos lospares
relacionados.

En N la relación R definida por: “x R y
x divide a y” es no simétrica
ya que 2R4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2)
R
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Propiedad antisimétrica

Diremos que R es antisimétrica si

a, b A: [a R b

Otra manera de expresarlo: Si a b

En N la relación R definida por: “x R y

[ (a,b)

R

b R a]

(b,a)

a=b

R]

x divide a y” esantisimétrica

Ya que si a R b y b R a entonces existen n, m N tales que:
b = an y a = bm.
Sustituyendo en esta última,
a = bm = (a.n).m
n=m=1

n.m = 1

a = b.

Prof.Lic. Teresa Fernández

Propiedad antisimétrica

Si la relación R es antisimétrica
pueden existir pares por encima o por
debajo de la diagonal pero ningún par
tiene reflejo respecto a la diagonal
principal excepto la diagonal misma.

A

1 10 1
MR

0 0 1 0
1 0 1 1
0 1 0 0

La relación R es antisimétrica si para
cada par de elementos distintos
relacionados la flecha está solo en un
sentido
Prof.Lic. Teresa Fernández

Propiedad Transitiva
Diremos que R es transitiva si

a, b, c A: [a R b

b R c]

aRc

En N la relación R definida por: “x R y
x divide a y” es transitiva ya
que si a R b y b R c entonces existen n, m N tales que: b = any c =
bm. Sustituyendo en esta última: c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m N
b R c.

Cada vez que hay un camino de un elemento
a otro pasando por un elemento intermedio,
también existe un camino entre ambos
elementos directamente.
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Propiedad Transitiva

La relación R es transitiva si cada vez
que hay un camino entre tres elementos,
también está la flecha que comienza en...