Proporciones

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Teorema del límite central
Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media [pic]y desviación estándar [pic], entonces, cuando n es grande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una media igual a[pic]y una desviación estándar de [pic]. La aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea cada vez mayor.
[pic]
Ejemplo
Para la dsitribución muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre:
a. El error muestral de cada media
b. La media de los errores muestrales
c. La desviación estándar de los errores muestrales.
Solución:
a. En la tabla siguiente se ven lasmuestras, las medias de las muestras y los errores muestrales:
|Muestra |x |Error muestral, e=x-[pic] |
|(0,0) |0 |0 - 3 = -3 |
|(0,2) |1|1 - 3 = -2 |
|(0,4) |2 |2 - 3 = -1 |
|(0,6) |3 |3 – 3 = 0 |
|(2,0) |1|1 – 3 = -2 |
|(2,2) |2 |2 – 3 = -1 |
|(2,4) |3 |3 – 3 = 0 |
|(2,6) |4|4 – 3 = 1 |
|(4,0) |2 |2 – 3 = -1 |
|(4,2) |3 |3 – 3 = 0 |
|(4,4) |4|4 – 3 = 1 |
|(4,6) |5 |5 – 3 = 2 |
|(6,0) |3 |3 – 3 = 0 |
|(6,2) |4|4 – 3 = 1 |
|(6,4) |5 |5 – 3 = 2 |
|(6,6) |6 |6 – 3 = 3 |

b. La media de los errores muestraleses
[pic]e, es:
[pic]
c. La desviación estándar de la distribución de los errores muestrales
[pic]
e, es entonces:
[pic]
La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar de la media denotado por [pic]x, es 1.58. Con esto se puede demostrar que si de unapoblación se eligen muestras de tamaño n con reemplazo, entonces el error estándar de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de los errores muestrales.
En general se tiene: [pic]
Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin reemplazo, se puede usar la formula siguiente para encontrar [pic]x .
[pic]
donde [pic]es la desviación estándar de la población de donde...