proyecto final calculo I

Universidad San Francisco de Quito
Cálculo I
Primer Semestre 2014-2015


PROYECTO FINAL


DISTANCIA EUCLIDEANA (dE) VS DISTANCIA DEL TAXISTA (dT)

1. Si son dados los puntos A (2, 7) y B (12, 9) encontrar dE (A,B) y dT (A,B). Representar gráficamente las dos distancias en un mismo sistema de coordenadas rectangulares.

Reemplazamos A (2, 7) y B (12, 9) en las ecuaciones:
DE (A, B)=
DE (A, B) =
DE (A, B) = 10,2

DT (A, B) =
DT (A, B) =
DT (A, B) = 12

Nos podemos dar cuenta que las distancias son diferentes y para una mejor comprensión las graficamos.











Distancia Euclideana = 10,2
Distancia del taxista = 10 + 2 = 14

2. Verificar si el siguiente enunciado es verdadero o falso:
Si A, B, C, D son cuatro puntosarbitrarios entonces si dE (A,B) = dE (C,D) entonces dT (A,B) = dT (C,D)

Establecemos 4 puntos arbitrarios A, B, C, D, cada uno con valores diferentes. A (1,5) B (2,3) C (1,8) D (1,5). Utilizamos la fórmula de la distancia del taxista para hallar la distancia AB y CD
Distancia del taxista:
A (1,5) B (2,3)
DT (A, B) =
DT (A, B) =
DT (A, B) = 3

C (1,8) D (1,5)DT (C, D) =
DT (C, D) =
DT (C, D) = 3

Con esto comprobamos que la distancia del taxista AB es igual a la distancia del taxista CD.
Después utilizamos la fórmula de la distancia Euclidiana para hallar la distancia AB y CD con los mismos puntos.
Distancia Euclidiana:
A (1,5) B (2,3)
DE (A, B) =
DE (A, B) =
DE (A, B) = = 2.24

C (1,8) D (1,5)
DE (C, D) =
DE (C, D) =
DE (C, D)=

Queda demostrado que si dT (A,B) = dT (C,D) las distancias del taxista son iguales, no necesariamente dE (A,B) ≠ dE (C,D) las distancias Euclidianas serán iguales.

Después cambiamos los puntos A (2,10) B (6,10) C (4,3) D (8,14) y empezamos reemplazando los valores en la distancia Euclidiana para que la distancia AB sea igual a la distancia CD.
Distancia Euclideana:
A (2,10) B (6,10)DE (A, B) =
DE (A, B) =
DE (A, B) = = 11.70

C (4,3) D (8,14)
DE (C, D) =
DE (C, D) =
DE (C, D) = = 11.70

Reemplazamos los puntos en la fórmula del taxista y hallamos que las distancias coinciden
dE (A,B) = dE (C,D)
dT (A,B) = dT (C,D)
Distancia del taxista:
A (2,10) B (6,21)
DT (A, B) =
DT (A, B) =
DT (A, B) = 15

C (4,3) D (8,14)
DT (C, D) =
DT (C, D) =
DT (C,D) = 15

Concluimos que si la distancia del taxista de AB es igual a la de CD, esto no necesariamente quiere decir que la distancia Euclidiana va a ser igual. Pero si la distancia Euclidiana de AB es igual a CD entonces la distancia del taxista también será igual.

3. Sea A (4, 0).
3.1 Determine y grafique el conjunto de todos los puntos P (x, y) que se encuentren alejados del punto A a unadistancia del taxista de 4 unidades, es decir, encontrar el gráfico del conjunto {P | dT (P, A) = 4}. La notación {P | dT (P, A) = 4} se lee como: “el conjunto de todos los puntos P tales que la distancia de taxista de P a A es igual a 4”.

Comenzamos con la ecuación:


Para resolver esta ecuación debemos romper el valor absoluto. El valor absoluto puede tener signo positivo o negativosegún la ecuación. Debido a que hay dos valores absolutos la combinación de ecuaciones quedarán 4 resultados. Que son los siguientes:
1)


2)





4)

De las cuatro ecuaciones que quedan, despejamos y graficamos las líneas.






Al graficar podemos ver que el conjunto de todos los puntos P(x, y) que se encuentren alejados del punto A, a una distancia del taxistade 4 unidades , son todos los puntos que conforman el perímetro del rombo.

3.2 Determine y grafique el conjunto de todos los puntos P que se encuentran alejados de A a una distancia euclidiana igual a 4. Esto es graficar {P | dE (P, A) = 4}
Reemplazamos los valores A (4,0) P (x, y) en la ecuación de Euclides. El producto da un círculo como se puede en la ecuación final




El...