Proyectos Gauss seidel
Páginas: 9 (2177 palabras)
Publicado: 4 de abril de 2013
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Resumen: En este artículo se muestra cómo solucionar sistemas de ecuaciones lineales 5x5 por medio del método numérico de Gauss-Seidel. Para esto, se van a ilustrar diversos ejemplos que se fundamentan en fenómenos que se le se pueden presentar a un ingeniero químico a diario, ya que éstos se pueden modelar como sistemas deecuaciones lineales.
Abstract: In this article we show how to solve linear equation systems 5x5 by the numeric method of Gauss-Seidel. For this, we will illustrate several examples that rely in phenomena that are presented to a Chemical Engineer every day, because these examples can be modeled as linear equations.
Keywords: Gauss-Seidel, Chemical Engineer, Linear Equations Systems.
1.INTRODUCCIÓN
Un método numérico es un método para obtener la solución de un problema matemático en forma de números. En muchos casos el problema puede resolverse de manera “exacta” mediante funciones conocidas por medio de métodos analíticos. Los métodos numéricos son entonces necesarios si se precisa una solución en forma numérica.
Muchos otros problemas, por otra parte, no pueden resolverseanalíticamente y por esto los métodos numéricos son necesarios para el propio proceso de resolución. Como los métodos numéricos se implementan normalmente en un ordenador, a veces se les define como “métodos para resolver problemas con un ordenador”. El desarrollo de los ordenadores en los últimos años ha ido acompañado de los desarrollos sofisticados de procedimientos numéricos para resolver unaamplia variedad de problemas en las ciencias físicas, en ingeniería y estadística [1]
Para este trabajo se realizará un método numérico que resuelva ecuaciones lineales que se puedan presentar tanto en el campo de la ingeniería como en el campo de la matemática. Esto se debe a que una gran cantidad de los problemas que se presentan en las ciencias naturales, sociales y muchos campos más, dependende ecuaciones que relacionan a dos conjuntos de variables. Una ecuación del tipo:
La cual expresa la variable b en términos de la variable x y la constante a, se denomina ecuación lineal. Aquí se utiliza la palabra lineal porque la gráfica de la ecuación anterior es una línea recta. De manera análoga, la ecuación:
La cual expresa a b en términos de ,,..., y las constantes conocidas ,,…, sedenomina ecuación lineal. En muchas ocasiones se provee el valor numérico de b y las constantes ,,…, donde se determina el valor los valores de ,,..., denominados incógnitas que satisfacen a la anterior ecuación.[2]
2. MÉTODO NUMÉRICO: GAUSS-SEIDEL.
Los métodos iterativos constituyen una alternativa a los métodos de eliminación, como una forma de aproximar la solución. Estos métodosdirectos permitían obtener las raíces de una sola ecuación. El método de solución consistía en suponer un valor y lugar usar un método sistemático para obtener una aproximación mejorada de la raíz. Los métodos iterativos hacen un tratamiento similar a los problemas como lo hacen los métodos directos, donde se busca obtener valores que simultáneamente satisfagan el conjunto de ecuaciones.
El métodode Gauss-Seidel es el método iterativo mas comúnmente usado. Suponga que se da un sistema de n ecuaciones:
Ahora suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones de 3x3.
Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3, así obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones:
Ahora, sepuede empezar el proceso de solución al escoger valores iniciales para x. Una forma simple para obtener los valores iniciales es suponer que todos son ceros, aunque dependiendo del problema es mejor no hacer esta suposición e insertar valores iniciales que cumplan con el sentido físico que expone el fenómeno.
Estos ceros se sustituyen en la ecuación (1), la cual se utiliza para calcular de nuevo un...
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Resumen: En este artículo se muestra cómo solucionar sistemas de ecuaciones lineales 5x5 por medio del método numérico de Gauss-Seidel. Para esto, se van a ilustrar diversos ejemplos que se fundamentan en fenómenos que se le se pueden presentar a un ingeniero químico a diario, ya que éstos se pueden modelar como sistemas deecuaciones lineales.
Abstract: In this article we show how to solve linear equation systems 5x5 by the numeric method of Gauss-Seidel. For this, we will illustrate several examples that rely in phenomena that are presented to a Chemical Engineer every day, because these examples can be modeled as linear equations.
Keywords: Gauss-Seidel, Chemical Engineer, Linear Equations Systems.
1.INTRODUCCIÓN
Un método numérico es un método para obtener la solución de un problema matemático en forma de números. En muchos casos el problema puede resolverse de manera “exacta” mediante funciones conocidas por medio de métodos analíticos. Los métodos numéricos son entonces necesarios si se precisa una solución en forma numérica.
Muchos otros problemas, por otra parte, no pueden resolverseanalíticamente y por esto los métodos numéricos son necesarios para el propio proceso de resolución. Como los métodos numéricos se implementan normalmente en un ordenador, a veces se les define como “métodos para resolver problemas con un ordenador”. El desarrollo de los ordenadores en los últimos años ha ido acompañado de los desarrollos sofisticados de procedimientos numéricos para resolver unaamplia variedad de problemas en las ciencias físicas, en ingeniería y estadística [1]
Para este trabajo se realizará un método numérico que resuelva ecuaciones lineales que se puedan presentar tanto en el campo de la ingeniería como en el campo de la matemática. Esto se debe a que una gran cantidad de los problemas que se presentan en las ciencias naturales, sociales y muchos campos más, dependende ecuaciones que relacionan a dos conjuntos de variables. Una ecuación del tipo:
La cual expresa la variable b en términos de la variable x y la constante a, se denomina ecuación lineal. Aquí se utiliza la palabra lineal porque la gráfica de la ecuación anterior es una línea recta. De manera análoga, la ecuación:
La cual expresa a b en términos de ,,..., y las constantes conocidas ,,…, sedenomina ecuación lineal. En muchas ocasiones se provee el valor numérico de b y las constantes ,,…, donde se determina el valor los valores de ,,..., denominados incógnitas que satisfacen a la anterior ecuación.[2]
2. MÉTODO NUMÉRICO: GAUSS-SEIDEL.
Los métodos iterativos constituyen una alternativa a los métodos de eliminación, como una forma de aproximar la solución. Estos métodosdirectos permitían obtener las raíces de una sola ecuación. El método de solución consistía en suponer un valor y lugar usar un método sistemático para obtener una aproximación mejorada de la raíz. Los métodos iterativos hacen un tratamiento similar a los problemas como lo hacen los métodos directos, donde se busca obtener valores que simultáneamente satisfagan el conjunto de ecuaciones.
El métodode Gauss-Seidel es el método iterativo mas comúnmente usado. Suponga que se da un sistema de n ecuaciones:
Ahora suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones de 3x3.
Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3, así obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones:
Ahora, sepuede empezar el proceso de solución al escoger valores iniciales para x. Una forma simple para obtener los valores iniciales es suponer que todos son ceros, aunque dependiendo del problema es mejor no hacer esta suposición e insertar valores iniciales que cumplan con el sentido físico que expone el fenómeno.
Estos ceros se sustituyen en la ecuación (1), la cual se utiliza para calcular de nuevo un...
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