Prueba De Calculo 3

CÁLCULO MULTIVARIABLE - PRUEBA 2
Solución

12-05-2012
C 1. a) Sea 0 una función diferenciable, y consideremos la superficie D œ B 0 Ð ÑÞ B Probar que el plano tangente en cualquier punto T! ÐB! ß C! ß D! Ñ de la superficie pasa por el origen. b) La longitud y el ancho de un rectángulo son $! cm y #% cm, respectivamente, con un error en la medición de, cuando mucho, 0.1 cm en cada dimensión.Use diferenciales para estimar el error máximo en el cálculo del área del rectángulo. Solución. a) Primera forma La ecuación del plano tangente en T! ÐB! ß C! ß D! Ñ , esta dada por D  D! œ o bien D  D! œ Ò0 Ð C! C! C! C! Ñ  0 w Ð ÑÓÐB  B! Ñ  0 w Ð ÑÐC  C! Ñ B! B! B! B! `D `D aT! bÐB  B! Ñ  aT! bÐC  C! Ñ `B `C

Si este plano pasa por el origen, el punto Ð!ß !ß !Ñ debe satisfacer estaecuación En efecto !  D! œ Ò0 Ð C! C! C! C! Ñ  0 w Ð ÑÓÐ!  B! Ñ  0 w Ð ÑÐ!  C! Ñ Í B! B! B! B! C! D! œ B! 0 Ð Ñ B!

Pero el punto T! satisface la ecuación de la superficie, lo que dice que esta última igualdad es verdadera, por tanto el plano en cuestión pasa por el origen. Segunda Forma Difiere de la primera, en como se obtiene el plano tangente, es decir t fJ ÐB! ß C! ß D! Ñ † ÐB  B! ß C C! ß D  D! Ñ œ !

C con J ÐBß Cß DÑ œ D  B 0 Ð Ñ œ !ß así B C! C! C! C! t fJ ÐB! ß C! ß D! Ñ œ Ð  0 Ð Ñ  0 w Ð Ñß  0 w Ð Ñß "Ñ B! B! B! B! donde resulta naturalmente la misma ecuación del plano tangente, que en la primera forma. b) + œ $! cm. , œ #% cm. l.+l Ÿ !Þ" cm., l.,l Ÿ !Þ" cm. Sea E el área del rectángulo en cuestión, entonces E œ +, luego su diferencial es .E œ +.,  ,.+ Por tantoel error máximo en el cálculo del área es: l.El Ÿ l+ll.,l  l,ll.+l Ÿ $! † !Þ"  #% † !Þ" œ &Þ% cm# 2. Sea 0 una función con segundas derivadas parciales continuas. Demuestre que Ð " `#0 `#0 ` #A ` #A ÑÒ #  Óœ%Ð #  Ñ B#  C# `B `C# `? `@#

donde ? œ B#  C# ß @ œ #BCß Aa?ß @b œ 0 aBß Cb

Demostración. `0 `0 `? `0 `@ `A `A œ  œ #B  #C `B `? `B `@ `B `? `@ `#0 ` `A `A œ Ò #B  #CÓ # `B `B `?`@ ` #A ` #A `A ` #A ` #A œ Ò # #B  #CÓ#B  #Ò #B  #CÓ#C `? `@`? `? `?`@ `@# # # ` #A `A #` A #` A œ %B  )BC  %C # a"b # # `? `@`? `@ `? De igual manera, se tiene `0 `0 `? `0 `@ `A `A œ  œ Ð  #CÑ  #B `C `? `C `@ `C `? `@ `#0 ` `A `A œ Ò Ð  #CÑ  #BÓ # `C `C `? `@ ` #A ` #A `A ` #A ` #A œ Ò  #C #  #BÓ †  #C  #  Ò  #C  #BÓ#B `? `@`? `? `?`@ `@# ` #A ` #A ` #A `A œ %C# #  )BC  %B##  # a#b `? `@`? `@ `?

De donde sumando a"b y a#b se tiene
# # `#0 `#0 # # ` A # # ` A  # œ Ð%B  %C Ñ #  Ð%B  %C Ñ # `B# `C `? `@

finalmente Ð " `#0 `#0 ` #A ` #A ÑÒ #  Óœ%Ð #  Ñ B#  C# `B `C# `? `@#

3.

abb Use la fórmula de Taylor para encontrar una aproximación cuadrática de la
? s

a) Dada 0 ÐBß CÑ œ *  B#  C# ß hallar un vector unitario ? ortogonal a s t f 0 Ð"ß #Ñy calcular H 0 Ð"ß #Ñ Þ

función 0 aBß Cb œ /B senaCb en el origenÞ Estime el error en la aproximación si |Bl Ÿ !ß " y lCl Ÿ !ß "

aab

Solución. t t f 0 aBß Cb œ a  #Bß  #Cb Ê f 0 a"ß #b œ a  #ß  %b Sea ? œ a+ß ,bß con È+#  ,# œ "ß a‡b por otra parte s t t Si f 0 a"ß #b ortogonal a ? Ê f 0 a"ß #b † ? œ ! Í s s remplazando esta última expresión en a‡b resulta &,# œ " Í , œ „ y +œ … # ßluego È&
? s

a  #ß  %b † a+ß ,b œ ! Í  #+  %, œ ! Í + œ  #, " a … #ß „ "bÞ È&

" È&

? œ s

abb

Como 0 es diferenciable en ‘# ( polinomio), entonces t H 0 Ð"ß #Ñ œ f 0 a"ß #b † ? œ ! s a!ß !b Encontramos el polinomio de Taylor de grado # para 0 aBß Cb œ /B senaCb en " T aBß Cb œ 0 a!ß !b  0B Ð!ß !ÑB  0C a!ß !b  Ò0BB a!ß !bB#  #0BC a!ß !bBC  # #  C 0CC a!ß !bÓ

0B a!ß !b œ0BB a!ß !b œ 0CC a!ß !b œ !à 0C a!ß !b œ 0BC a!ß !b œ "ß 0 a!ß !b œ !

0B œ /B senaCb œ 0BB ß 0C œ /B cosaCb œ 0BC ß 0CC œ  /B senaCbß de donde

Error en la aproximación, " I aBß Cb œ Ò0BBB B$  $0BBC B# C  $0BCC $BC#  0CCC C$ Ó¸a-Bß-Cb ß !  -  " $x

y resulta T# aBß Cb œ C  BCß luego 0 aBß Cb ¸ T# aBß Cb œ C  BCÞ

Como ¸ senaCb¸ Ÿ " y ¸ cosÐCѸ Ÿ "ß entonces
luego ¸I aBß Cb¸ Ÿ...