prueba de bonda de ajuste




Prueba de Bondad del Ajuste

Los procedimientos de una prueba de hipótesis están diseñados para problemas en los que se conoce la población o distribución de probabilidad, y la hipótesis involucra los parámetros de la distribución. A menudo se encuentra otra clase de hipótesis: no se sabe cuál es la distribución de la población, y se desea probar la hipótesis de que una distribución enparticular será un modelo satisfactorio de la población. Por ejemplo, tal vez se quiera probar la hipótesis de que la población es normal.
En la mayoría de nuestras discusiones supusimos que la variable aleatoria que se considera tiene una distribución específica. Sin embargo, puede acontecer que aún no estemos seguros acerca de la forma general de la distribución que se tiene.
Se describe unprocedimiento de prueba formal de la bondad del ajuste basada en la distribución ji-cuadrada. También se presenta una prueba grafica muy útil denominada grafica de probabilidad.

Teorema
Si n es suficientemente grande, y su pi=pio, la distribución D2 tiene aproximadamente la distribución X2con (K-1) grados de libertad.
Demostración: el argumento siguiente no es una demostración rigurosa. Sóloes un intento de hacer aceptable el resultado.
Se considerará un caso especial, es decir, k=2. Luego



Usando el hecho que n1 + n2 = n y que p10 + p20 = 1, se puede escribir












Como n1= , en donde:


= 0 en cualquier otro caso

Así n1 puede expresarse como la suma de n variables aleatorias independientes y de acuerdo conel teorema e limite central, tiene aproximadamente una distribución normal si n es grande. Además, E(n1) = np10 y V(n1) = np10(1-p10) si p10 es el valor verdadero de p1. Por lo tanto si p1 = p10, para un gran valor de n, entonces, la variable aleatoria (n1- n10)(np10(1-p10))0.5tiene aproximadamente la distribución N(0,1).
Hemos demostrado que si n es suficientemente grande, D2 (con K=2) tieneaproximadamente la distribución X12. La demostración para un k en general sigue la misma línea: debemos demostrar que D2 puede expresarse como la suma de cuadrados de (K - 1) variables aleatorias independientes cada una con distribución(0,1) si n es grande y si pi=pi0.

Prueba ji-cuadrada de bondad del ajuste

Se requiere una muestra aleatoria de tamaño n proveniente de la población cuyadistribución de probabilidad es desconocida. Estas n observaciones se acomodan en un histograma de frecuencia, el cual tiene k intervalos de clase.
Esta prueba de bondad del ajuste es solo uno de los muchos procedimientos utilizados para tal fin. Cuando se trabaja con distribuciones continuas, esta prueba tal vez no sea el mejor procedimiento. Sin embargo, dada su gran disponibilidad en los paquetes desoftware estadísticos, es necesario que los ingenieros se familiaricen con es






Puede demostrarse, que si la población sigue la distribución propuesta, X02tiene, de manera aproximada, una distribución con k –p-1 grados de libertad, donde p representa el numero de parámetros de la distribución propuesta estimada por los estadísticos muestrales. Esta aproximación mejora a medida de que naumenta. Debe rechazarse la hipótesis de que la distribución de la población es la distribución propuesta, si el valor calculado del estadístico de prueba es X02> Xα2, k – p-1.

Un aspecto que debe notarse en la aplicación de este procedimiento de prueba es el relacionado con la magnitud de las frecuencias esperadas. Si estas frecuencias son muy pequeñas, entonces el estadístico de prueba (X02)no reflejara el alejamiento entre lo observado y lo esperado, sino solo la pequeña magnitud de las frecuencias esperadas. No hay ningún acuerdo general con respecto al valor mínimo de las frecuencias esperadas.
Si se espera que una frecuencia sea demasiado pequeña, entonces puede combinarse con la frecuencia esperada en un intervalo de clase adyacente. La frecuencia observada correspondiente...