Prueba De Bondad De Ajusta X2

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE
Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una distribución especificada o supuesta. Sea X: variable aleatoria poblacional f0(x) la distribución (o densidad) de probabilidad especificada o supuesta para X

Se desea probar la hipótesis: Ho: f(x) = f0(x) En contraste con la hipótesis alterna: Ha: f(x) no= f0(x) (negación deHo)

PRUEBA JI-CUADRADO
Esta prueba es aplicable para variables aleatorias discretas o continuas. Sea una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con una distribución especificada f0(x) que es de interés verificar. Suponer que las observaciones de la muestra están agrupadas en k clases, siendo oi la cantidad de observaciones en cada clase i = 1, 2, ..., k Con el modeloespecificado f0(x) se puede calcular la probabilidad pi que un dato cualquiera pertenezca a una clase i. Con este valor de probabilidad se puede encontrar la frecuencia esperada ei para la clase i, es decir, la cantidad de datos que según el modelo especificado deberían estar incluidos en la clase i: ei = pi n, i = 1, 2, ..., k

Tenemos entonces dos valores de frecuencia para cada clase i oi: frecuenciaobservada (corresponde a los datos de la muestra) ei: frecuencia esperada (corresponde al modelo propuesto) La teoría estadística demuestra que la siguiente variable es apropiada para realizar una prueba de bondad de ajuste: Definición Estadístico para la prueba de bondad de ajuste χ =
2

Ji-cuadrado

∑

k (o − e ) 2 i i

i =1

ei

, distribución Ji-cuadrado con ν=k–r–1 grados delibertad

donde r es la cantidad de parámetros de la distribución que deben estimarse a partir de la muestra Es una condición necesaria para aplicar esta prueba que ∀i, ei ≥ 5 .

Dado un nivel de significancia α se define un valor crítico χ 2 para el rechazo de la hipótesis α propuesta Ho: f(x) = f0(x). Si las frecuencias observadas no difieren significativamente de las frecuencias esperadascalculadas con el modelo propuesto, entonces el valor de estadístico de prueba χ2 será cercano a cero, pero si estas diferencias son significativas, entonces el valor del estadístico χ2 estará en la región de rechazo de Ho
2 rechazo H 0 ⇔ χ 2 > χ α :

Región de rechazo de Ho Ejemplo

Se ha tomado una muestra aleatoria de 40 baterías y se ha registrado su duración en años. Estos resultados se losha agrupado en 7 clases en el siguiente cuadro i clase (duración) frecuencia observada (oi) 1 1.45 – 1.95 2 2 1.95 – 2.45 1 3 2.45 – 2.95 4 4 2.95 – 3.45 15 5 3.45 – 3.95 10 6 3.95 – 4.45 5 7 4.45 – 4.95 3 Verificar con 5% de significancia que la duración en años de las baterías producidas por este fabricante tiene duración distribuida normalmente con media 3.5 y desviación estándar 0.7
SoluciónSea X: duración en años (variable aleatoria contínua)
X ~ N ( 3.5 ,0.7 ) 1) Ho: 2) Ha: no H0 3) α = 0.05

(distribución normal, µ=3.5, σ=0.7)

Cálculo de la probabilidad correspondiente a cada intervalo p1 = P(X≤1.95) = P(Z≤(1.95 – 3.5)/0.7) = 0.0136 p2 = P(1.95≤X≤2.45) = P((1.95 – 3.5)/0.7 ≤Z≤ (2.45 – 3.5)/0.7) = 0.0532 p3 = P(2.45≤X≤2.95) = P((2.45 – 3.5)/0.7 ≤Z≤ (2.95 – 3.5)/0.7) = 0.135... (etc)

Cálculo de las frecuencias esperadas e1 = p1 n = 0.0136 (40) ≈ 0.5 e2 = p2 n = 0.0532 (40) ≈ 2.1 e3 = p3 n = 0.135 (40) ≈ 5.4 ... (etc) Resumen de resultados duración (años) frecuencia observada (oi) frecuencia esperada (ei) 1.45 – 1.95 2 0.5 1.95 – 2.45 1 2.1 2.45 – 2.95 4 5.4 2.95 – 3.45 15 10.3 Ojo con el redondeo, 3.45 – 3.95 10 10.7 la suma debe ser n =40 3.95 – 4.45 5 7 4.45 –4.95 3 3.5 Es necesario que se cumpla la condición ∀i, ei ≥ 5 por lo que se deben agrupar clases adyacentes. Como resultado se tienen cuatro clases k=4
duración (años) frecuencia observada (oi) frecuencia esperada (ei) 1.45 – 2.95 7 8.5 2.95 – 3.45 15 10.3 3.45 – 3.95 10 10.7 3.95 – 4.95 8 10.5

Ahora se puede definir la región de rechazo de Ho Observemos que en este ejemplo la media y la...