Pruebas De La Bondad Del Ajuste Y Análisis De Varianza. Análisis Ji-Cuadrada

Nombre de la asignatura:
Estadística Administrativa II

Carrera: Licenciatura en Administración

U N I D A D 2

PRUEBAS DE LA BONDAD DEL AJUSTE Y ANÁLISIS DE VARIANZA.

ANÁLISIS JI-CUADRADA

DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)
En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de unapoblación normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:

tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertady se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:

donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
1. Los valores de X2 son mayores o igualesque 0.
2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 esn-1 y la varianza es 2(n-1).
6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:
para x>0
La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, lacual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.Cálculo de Probabilidad
El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.
Ejemplos:
1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con unadesviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución:
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza
, tenga una varianza muestral:
a. Mayor que 9.1
b. Entre 3.462 y 10.745
Solución.
a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:

Al buscar este número en el renglón de 24grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05
b. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:
y
Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos...