Práctica De Ecuaciones diferenciales

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica
o
Escuela de Matem´tica
a
MA-2105 Ecuaciones Diferenciales
I Semestre 2013
Prof. G. Figueroa M.

Ejercicios de pr´ctica
a
I Examen Parcial
1. Compruebesi
y3 =

1
c
+3
xx

es soluci´n de la ecuaci´n diferencial
o
o
xy 2 dy + y 3 dx =

2
dx
3x

2. Dada la siguiente ecuaci´n diferencial
o
(1 + 3xSen(y )) dx − x2 Cos(y )dy = 0

(1)entonces:
a ) Compruebe que al hacer el cambio de variable u = Sen(y ) la ecuaci´n (1) se transo
forma en una ecuaci´n diferencial lineal.
o
b ) Usando lo anterior determine la soluci´n generalde la ecuaci´n (1).
o
o
3. Determine una funci´n f (x) de forma tal que la siguiente ecuaci´n diferencial:
o
o
(yf (x) + Sen(y )) dx + f (x) + xCos(y ) + 3e−2x dy = 0
sea exacta.
4. Determineuna funci´n M (x, y ) de forma tal que la ecuaci´n diferencial:
o
o
M (x, y )dx + (ex + 2xy ) dy = 0
sea exacta.
1

5. Dada la ecuaci´n diferencial
o
2yx−1 dx + y 2 x−2 − 1 dy = 0

(2)entonces:
a ) Determine los valores de m y n de forma tal que xm y n sea un factor integrante de
la ecuaci´n diferencial (2).
o
b ) Usando lo anterior resuelva la ecuaci´n diferencial (2).
o
6.Determine una funci´n f (y ) tal que µ(x, y ) =
o
diferencial:

f (y )
x3

es un factor integrante de la ecuaci´n
o

y 2 dx + xy − x3 dy = 0
7. Determine una funci´n Q(x, y ) para laecuaci´n diferencial:
o
o
S en(x) +

3xy
Q(x, y )
dx +
dy = 0
2
y

sabiendo que la funci´n µ(x, y ) = xy es un factor integrante de dicha ecuaci´n diferencial.
o
o
8. Haciendo z = eyresuelva la siguiente ecuaci´n diferencial:
o
xy + 1 = xe−y Cos(x)
9. Haciendo u = y −1 determine la soluci´n general de la siguiente ecuaci´n diferencial:
o
o
xy + y = y 2 ln(x)
10. Plantee yresuelva el siguiente problema:
En 1957, en una f´brica de bombas nucleares, ocurri´ un accidente en el que se liberaron
a
o
50 gramos del is´topo Pu-240, elemento qu´
o
ımico del plutonio. Si la...