psicologia general

Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones.
Función Real de Variable Real. Límites. Derivadas e Integrales

Mag.Ing. Alejandro Alfonso FONG LAU

Límites
Introducción.
Las ideas y conceptos que se introducen en

Dominio de y = f(x)

este capítulo son las nociones básicas

x≠ 2

necesarias para una mejor comprensión del

x ∈ < − ∞ ; 2 > ∪ < 2; + ∞ >

⇒

x = R − {2}Cálculo Diferencial.
Se recomienda al lector dedicar el mayor
esfuerzo posible para asegurarse de que

2

−∞

+∞

esta logrando una plena comprensión de

x ∈ < − ∞ ; +2 >

x ∈ < +2; +∞>

estas ideas, lo cual le posibilitara entender

x = 2 − {Nº Positivo}; x = 2 + {Nº Positivo}

y comprender el significado técnico de:

x=2−δ;δ>0

; x=2+δ;δ>0
x→ 2+

−

x→ 2

costomarginal, ingreso marginal, utilidad

x2

1.85

1.9

1.999

2.001

2.1

2.15

y = f ( x) 6.55

6.7

6.997 ¿..? 7.003

7.3

7.45

x

una región limitada entre dos curvas, etc.

2

Concepto intuitivo de límite.

Se interpreta que el valor de y = f(x) se

Ejemplo N º1

aproxima cada vez más al número L = 7
tanto cuanto se quiera, asignándole valores

f: R ⇒ R , cuyaregla de

Sea la función

a ”x” lo suficientemente cercanos al

correspondencia es:

y = f ( x) =
Hallar

número 2.

3 x 2 − 5 x − 2 (3 x + 1)( x − 2 )
=
(x − 2)
x−2

su

dominio

y

analizar

Límite lateral por la izquierda: x < 2
el
1.8
6.4

comportamiento de la función cuando la
variable independiente x se aproxima cada vez

x 2

(3x + 1)(x − 2)
(x − 2) = 3x+ 1
f (x ) =
(x − 2)

.

x−2

1

2
2.001 2.1
No definido 7.003 7.3

x>2
2.15 2.2
7.45 7.6

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Función Real de Variable Real. Límites. Derivadas e Integrales

Mag.Ing. Alejandro Alfonso FONG LAU

x > 2, se representa por x → 2 + significa

Observaciones:

que x se aproxima cada vez más a 2 por la

1) Las letras griegas:épsilon “ε” y delta “δ”

derecha y el valor de la función y = f(x) es

son números positivos pequeñísimos: 0 0) (∃δ > 0 ) /
x →2

....................................................................

f ( x) − 7 < ε , siempre que, x ∈ D f y 0 < x − 2 < δ

f(x) − 7 = ± ε, siempre que, x − 2= ± δ

 3x2 − 5 x − 2 
Lim 
 = Lim[3x + 1]= 7
x→2
x−2

 x→2

lo cual interpretamoscomo que: podemos
hacer el valor absoluto de f(x) −7 tan pequeño
como queramos, haciendo que el valor

Interpretación geométrica

absoluto de x−2 sea suficientemente pequeño,

Dado ε > 0 debe ser posible encontrar δ > 0

lo cual se escribe:

tal que la gráfica de la función: y = f(x) = 3x+1

f ( x) − 7 < ε , siempre que, 0 < x − 2 < δ

se encuentre en el rectángulo limitado por las:2

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Función Real de Variable Real. Límites. Derivadas e Integrales

rectas verticales: x = 2 − δ ;

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x = 2+δ

recta horizontal: y = 7 − ε ; y = 7 + ε

Gráfica de

Y

y = f(x) = 3x+1

y =L+ε
y =L

Y
y=7+ε

y =L − ε

y=7

(0;0)

x = x0

y=7−ε

x = x0 − δ

(0;0)
x=2−δ

x =x0 + δ

Propiedades operacionales del límite.

X

x=2

X

•

x=2+δ

Supongamos que:

lím f (x ) = L ; lím g (x ) = M y c es una cos tan te

Límites

x → x0

Sea f : R ⇒ R , es decir una función real de

x → x0

Límite de una constante:

variable real tal que y = f(x);

lím c = c

si los valores de f(x) se acercan cada vez mas

x → x0

al número "L" al asignarvalores a la variable

el límite de una constante es la misma

"x" suficientemente cercanos a "x0", (pero no

constante.

iguales x0.) se representa por:

Limite de una suma:

lím f (x ) = L
x→ x 0

lím[ f + g ](x ) = lím f (x ) + lím g (x ) = L + M
x → x0

x → x0

x → x0

Limites - Definición.
Dados una función “f” y los números x0, L;

el límite de una suma es igual a...