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Derivadas de Funciones de una sola variable
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervaloconsiderado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximaciónlineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de unafunción se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.


Funciones Algebraicas
Las formulas de esta sección se aplican los productos, cocientes, potencias y raíces de las funciones derivables.
Regla 1. La derivada de una función constante es cero: si y= c, = 0
Ejemplos
A. Si y= 6,=0

B. Si y= a, =0Regla 2. La derivada de la potencia n-ésima de una variable es el producto de su exponente n y la potencia de exponente n -1 de la variable: si y = ,
=n

Ejemplos

A. Si y=

B. Si y=

C. Si y =4





Regla 3. La derivada del producto de una constante y una función derivable o diferencial es el producto d ela constate y la derivada de la fucion: si y= cu, en donde u = f(x) esuna fuincion derivable de x.


=c

Ejemplos
A. Si y= 10x,

B. Si y=

C. Si y= 2
Regla4. La deriva de la suma de un numero finito de funciones derivables es la suma de sus derivadas: si y= u + v , en donde u= f(x) y v = g(x) son funciones diferenciables de x,

En general, si y=, donde = (x) son funciones doferenciales de x para = 1, 2,…. , entonces

Ejemplo
A. Si y==3(2 )= (3)(2x)+ (4)(1)+ 0= 6x + 4

B. Si y=5 3=

Funciones Polinomiales
Las reglas anteriores de diferenciación pueden resumirse y generalizarse como la regla para la derivación de funciones polinomiales. Un solo termino de la forma , en donde es una constante y es cero o un enter positivo, recibe el nombre de monomio en . Una función que es la suma de un numero finito de ales términos monomiales sedenomina polinomi (o función polinomial) en .
La derivada de un monomio en es

Y la derivada de la suma de un numero finito de tales términos (esto es , la derivada de un polinomio) es la suma de las derivadas de los términos.

La derivada del producto de dos funciones diferenciables o derivables es igual a la primera función multiplicada de la segunda, mas la segunda función multiplicada porla derivada de l primera. En la misma forma, la derivada del producto de mas de dos funciones derivables es la suma de los productos de la derivada de cada función por las otras funciones. Si en donde y son funciones diferentes con respecto a x.
Ejemplo
Si sean éntonces






Problemas
Obtener la primera derivada con respecto a para cada una de la siguientes funcones = :
1. ,2. ,

3. ,
Cada una de las funciones anteriores constituye un ejemplo de una función polinomial. Una función polinomial de grados tiene la froma general.

donde ,…, son reales y . El exponente de cada debe ser un entero no negativo y el gardo del polinomio es la potencia (exponente) mas alta en la función . La función

Es una fucnion polinomial de quinto grado con = ==...