Punto Medio

Regla del punto Medio

Si en el método anterior la función pasa a través del punto  (a+b2, fa+b2  este método se llama la regla del punto medio: abfxdx~b-af(a+b2.
En esencia el teorema dice quedada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curvaen c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir : fb-f(a)b-a=f'c

Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de laecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:
 y=fa+fb-fab-a(x-a)
Donde los pares de puntos a,fa y b,fb  y  son una parejacualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendienteen dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:
gx=fx-y=fx-f(a)+fb-fab-a(x-a)
Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lomismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:
ga=gb→fa-fab-aa-a=fb-fa-fb-fab-a(b-a)

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b),existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

0=g'c=f'c-fb-f(a)b-a

 así
f'c=fb-f(a)b-a

Ejemplo 1

Calcular la integral definida :
45x2+3

Solución
fb-f(a)b-a=f'c1[(5+42) 2 +3]
(1)(814+3) = (1) (81+12)4)
1934=23.25

Ejemplo 2

35x2-3

(5-3)((5+32)2-3)
(2)(16-3)= 26

Centro Universitario de Oriente
Cunori

Materia:
Matematica Intermedia 1Catedratico:
Ing Victor Lobos

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