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Solucionario

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Derivadas
ACTIVIDADES INICIALES

6.I. Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a) Horizontal y que pase por el punto A(1, 4). b) Decreciente y que pase por el punto A(2, –3). c) Creciente y que pase por el origen. d) Que pase por los puntos A(2, 4) y A(–3, –8). e) Paralela a y = –2x + 1 y que corte al eje X en el punto A(1, 0). f) Paralela a la bisectriz del primercuadrante y que pase por el punto A(1, 6). a) y = 4 d)

12 4 x −2 y −4 = y= x− −3−2 −8−4 5 5

b) y = –x – 1 c) y = 3x

e) y = –2x + 2 f) y = x + 5
x 2y 3 , calcula lnA y expresa el resultado mediante sumas y restas de z

6.II. Dada la expresión A = logaritmos.

ln A = ln

x 2y 3 1 1 1 3 = ln x 2 y 3 − ln z = ln( x 2 y 3 ) − ln z = ln x 2 + ln y 3 − ln z = ln x + ln y − ln z z 2 2 2 26.III. Transforma las siguientes expresiones en un solo logaritmo: 3 ln a ln b a) 2log 5 – 5log a + 2log b – log c b) + − ln c 2 2

a) 2log 5 – 5log a + 2log b – log c = log 52 − log a5 + log b2 − log c = log 52 + log b2 − (log a5 + log c ) = = log(52 ⋅ b2 ) − log(a5 ⋅ c ) = log 52 ⋅ b 2 a5 ⋅ c
a3b c

b)

3 ln a ln b + − ln c = ln a3/2 + ln b1/ 2 − ln c = ln 2 2

EJERCICIOS PROPUESTOS6.1. La distancia recorrida por un autobús en los cinco primeros segundos desde que sale de una parada viene dada por la función f(t) = t2. ¿Qué velocidad llevará en el instante t = 3 segundos?

La velocidad en el instante t = 3 es la tasa de variación instantánea en t = 3: v (3) = TVI f (3) = lim f (3 + h ) − f (3) (3 + h )2 − 32 h(6 + h ) = lim = lim = 6 m/s h →0 h →0 h h h

h →0

6.2. Laemisión diaria de gases, en toneladas, en una fábrica viene dada por la expresión n (t) =

t (20 − 2t ) 8 con 0 ≤ t ≤ 10, estando t medido en horas. Calcula la tasa de variación instantánea de n (t) para t = 5 horas. 5+h 50 −2h 2 (20 − 2(5 + h )) − n(5 + h ) − n(5) 8 = lim 8 = lim −h = 0 TVI n(5) = lim = lim 8 h →0 h →0 h →0 h →0 4 h h h

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6.3. Encuentra la ecuación de larecta tangente a la gráfica de f(x) = x2 – 3x en el punto de abscisa x = 5. La pendiente de la recta tangente es f ′(5).

f ′(5) = lim

h →0

f (5 + h) − f (5) (5 + h)2 − 3(5 + h) − 10 25 + 10h + h2 − 15 − 3h − 10 h(h + 7) = lim = lim = lim = lim(h + 7) = 7 h →0 h →0 h →0 h →0 h h h h

La recta pasa por el punto de tangencia A(5, f(5)) = A(5, 10). La ecuación de la recta tangente es: y –10 = 7(x – 5), es decir, y = 7x – 25.
6.4. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) = (3 x − 2)2 , que es paralela a la recta de ecuación y = 6x – 5.

La pendiente de la recta tangente es 6 porque es paralela a y = 6x – 5. Calculemos el punto de tangencia A(a, f(a)).El punto de tangencia debe cumplir que f ′(a) =6; por tanto:
f ′(a ) = lim f (a + h ) − f (a ) (3(a + h) − 2)2 − (3a − 2)2 9a 2 + 9h 2 − 18ah + 4 − 12a − 12h − 9a 2 − 4 + 12a = lim = lim = h →0 h →0 h →0 h h h h(9h + 18a − 12) = lim = 18a − 12 h →0 h

Como 18a – 12 = 6, a = 1. El punto de tangencia es A(1, f(1)) = A(1, 1). La recta tangente es y – 1 = 6(x – 1), es decir, y = 6x – 5.
6.5. Halla la función derivada de: a) La función constante: f(x) = c c) f ( x ) =

b) La función identidad:f(x) = x
a) f ′( x ) = lim b) f ′( x ) = lim
f ( x + h) − f ( x ) c −c = lim =0 h →0 h h

x 1 d) f ( x ) = x

h →0

h →0

f ( x + h) − f ( x ) x+h−x h = lim = lim = 1 h →0 h →0 h h h
f ( x + h) − f ( x ) = lim h →0 h x+h − h x = lim ( x + h − x )( x + h + h( x + h + x) x) =

c) f ′( x ) = lim

h →0

h →0

= lim

h h( x + h + x)

h →0

= lim

1 x+h + x

h →0

=

1 2 x−h 1 1 − f ( x + h) − f ( x ) −h −1 −1 x + h x = lim ( x + h )x = lim = lim = lim = 2 d) f ′( x ) = lim h →0 h →0 h →0 h → 0 ( x + h ) xh h →0 ( x + h ) x h h h x
6.6. Deriva las siguientes funciones: a ) f (x) =
1 x +1
2

 x +1  c) f (x) =  4   x + 1

5

b ) f (x) = (x3 – x)7
a) f ′( x ) =
0· ( x + 1) − 1·2 x = −2 x ( x 2 + 1)2

 x  d) f (x) = (x + 2)    x + 1

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