QUIMCA

PROBLEMAS

DE OSCILACIONES.

Oscilaciones amortiguadas.

Autor: Jos´ Antonio Diego Vives
e
Documento bajo licencia
Creative Commons 3.0, BY-SA
(Atribuci´ n-CompartirIgual)
o

Problema 1
Un oscilador arm´ nico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es ω0 = 15 rad/s y cuyo par´ metro
o
a
−1 , se encuentra inicialmente en reposo en la posici´ n de equilibrio. En
deamortiguamiento es β = 9 s
o
el instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v0 = 60 cm/s.
Para este sistema se pide:
(a) Expresar la elongaci´ n del oscilador en funci´ n del tiempo.
o
o
(b) Calcular el m´ ximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posici´ n de equiliba
o

rio.
(c) Calcular el tiempo que deber´ transcurrir para que laamplitud de las oscilaciones amortiguadas se
a

reduzca a un 0,1 % del valor m´ ximo anteriormente calculado.
a

Soluci´ n
o

Planteamiento
En este problema debemos trabajar con las ecuaciones que describen el movimiento oscilatorio
amortiguado (MA):
x(t) = A0 e−βt sin(ωt + φ)
ω=
2
ω0 =

k
,
m

2
ω0 − β 2

2β =

A = A0 e−βt
E = E0 e−2βt = E0 e−t/τ

b
1
= ,
m
τf=

ω
,
2π

T =

1
2π
=
.
f
ω

donde A0 y E0 son la amplitud y energ´a inicial del movimiento, β el par´ metro de amorı
a
tiguamiento, τ el tiempo de relajaci´ n de la energ´a, ω la frecuencia del oscilador amortiguado,
o
ı
ω0 la frecuencia natural del oscilador (sin amortiguamiento), φ la fase inicial, k es la constante
el´ stica de la fuerza recuperadora (F = −k x), m lamasa de la part´cula, b es el coeficiente de
a
ı
amortiguamiento que aparece en la fuerza de rozamiento viscosa que amortigua el movimiento
(Fr = −b v) y T y f el periodo y la frecuencia del del movimiento.

(a) Expresar la elongaci´ n del oscilador en funci´ n del tiempo
o
o

Para determinar x(t) necesito evaluar A0 , ω y φ.
La fase inicial se puede obtener imponiendo que x(0) = 0:
x(0) =A0 e−βt sin(ωt + φ) = 0 → sin(φ) = 0 → φ = 0
La frecuencia angular del movimiento se puede calcular directamente con los datos del problema:
ω=

2
ω0 − β 2 = 12 rad/s

Y para determinar A0 podemos hacer uso del valor de v en t = 0:
dx
= ω A0 e−βt cos(ωt) − β A0 e−βt sin(ωt)
dt
v(0) = ω A0
v(t) =

Por lo tanto, sustituyendo los datos del problema:
A0 =

v(0)
=
ω

v(0)
2
ω0− β 2

= 0,05 m

Finalmente nos queda:

x(t) = 0,05 e−9t sin(12 t)

(en m y s)

(b) Calcular el m´ ximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posici´ n de equilibrio.
a
o

x =5 e

5.0

9 t

sin (12 t)

x (cm)

2.5

0.0

 
 

Para determinar el m´ ximo desplazamiento, podea
mos buscar el instante de tiempo en que la velocidad se hace cero porprimera vez y luego sustituir en
x(t).

¡

Como muestra la figura, el m´ ximo desplazamiento
a
de la part´cula no tiene lugar en el instante en que
ı
sin(ωt) = 1 (es decir, cuando x = A e−βt ), sino un
poco antes ya que la funci´ n sin(ωt) est´ multiplio
a
cada por la funci´ n decreciente en el tiempo A e−βt .
o

2.5

5.0
0.0

0.1

0.2

0.3

t (s)

0.4

0.5

0.6

x enfunci´ n de t de este movimiento
o

Igualando a cero la velocidad:
v(t) =

dx
= A0 e−βt (ω cos(ωt) − β sin(ωt)) = 0
dt

vemos que esto se cumple cuando ω cos(ωt) = β sin(ωt). Por tanto:
ω cos(ωt) = β sin(ωt) → tan(ωt) =

ω
β

Haciendo la arcotangente de ω/β y despejando t nos queda:
ω t = tan−1

ω
β

→ t=

1
tan−1
ω

ω
β

= 0,0772 s

Sustituyendo este valor de t enx(t) queda:

xmax = 0,05 e−9·0,0772 sin(12 · 0,0772) = 0,01995 m

0.7

(c) Calcular el tiempo que deber´ transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se
a
reduzca a un 0,1 % del valor m´ ximo anteriormente calculado.
a

Queremos ahora que la amplitud de las oscilaciones (A0 e−βt ) sea el 0,1 % de xmax :
x = xmax · 0,001 = 1,99 · 10−5 m
De la ecuaci´ n x(t)...