Quimica General

Páginas: 8 (1844 palabras) Publicado: 3 de octubre de 2012
Límites y continuidad
LÍMITES
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (dife rencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de unafunción en gene ral vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado. Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x): x 1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1 f (x) 2.61 2.96012.996001 2.99960001 3.00040001 3.004001 3.0401 3.41 Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la de recha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mis mo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimis mo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cadavez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla infe rior derecha). O sea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante. |x 2| | f (x) 3|

|1.9-2| = 0.1 |1.99-2| = 0.01 |1.999-2| = 0.001 |1.9999-2| = 0.0001 |2.0001-2| = 0.0001 |2.001-2| = 0.001 |2.01-2| = 0.01 |2.1-2| = 0.1

|2.61-3| = 0.39 |2.9601-3| =0.0399 |2.996001-3| = 0.003999 |2.99960001-3| = 0.00039999 |3.00040001-3| = 0.00040001 |3.004001-3| = 0.004001 |3.0401-3| = 0.0401 |3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivame nte que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3. Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

Definición épsilon-delta
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga aa. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe

Nota: no es necesario que f este defini da en a para que el lí mite exista.

Ejercicios resueltos (aplicando la definición épsilon-delta) En los ejercicios 1 a 4, de muestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Épsilon-delta:

So l uc io ne s
1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:Teoremas de límites
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas. Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia. Teorema de límite1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite2: Para cualquier número dado a,

Teoremade límite3: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces Teorema de límite4:

Teorema de límite5:

Teorema de límite6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite7: Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de límite8:

Procedimiento para calcular límites
Si es posible aplicar directamente las propiedadesanteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racionaly la propiedad 4 (III) también. Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que, una ve z hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la...
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