Quimico

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO

DIVISIÓN DE CIENCIAS NATURALES Y ÉXACTAS

FÍSICA MODERNA

*Transformaciones de Lorentz y Efecto Doppler en ondas electromagnéticas*



Transformadas de Lorentz
Al familiarizarnos cada vez más con las consecuencias de los postulados de Einstein, nos podemos dar cuenta que la transformación de coordenadas galileana sólo es válida en el límite cuando u tiendea cero por lo cual se vuelve más deseable obtener fórmulas de carácter general que nos permitan obtener toda la información que describa los eventos analizados por dos observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro, dos observadores situados en dos marcos de referencia distintos S y S' (se acostumbra denotar al observador en reposo como un observador colocado en el marco dereferencia S mientras que el observador móvil desplazándose a una velocidad V está puesto en el marco de referencia designado como S’):

Tales ecuaciones de transformación de carácter general de un marco de referencia a otro fueron enunciadas por vez primera no por Einstein sino por el físico Lorentz, razón por la cual reciben el nombre de ecuaciones de transformación de Lorentz.

* Deducciónde la transformación de coordenadas.





Fig.2. Medida en un marco de referencia S, x´ se ha contraído a x´γ, por tanto,u=ut+x´γ y x´=γx-ut


Para hacer la deducción de la transformación de coordenadas se hará referencia a la fig.2 para comenzar la deducción en ambos marcos de referencia se centrará la atención sobre un evento común descrito por ambaspersonas, el cual tendrá coordenadas (x,y,z,t) en el marco de referencia S y coordenadas (x’,y’,z’,t’) en el marco de referencia S’. Por simplicidad en la derivación de las ecuaciones de transformación, ambos marcos de referencia son seleccionados de modo tal que sus orígenes (el punto O en el marco de referencia de S y el punto O’ en el marco de referencia de S’) coincidan en los tiempos t=0 yt’=0.Entonces en S la distancia de O a O´ en el tiempo t sigue siendo ut . La coordenada x’ es una longitud propia en S’ y en consecuencia S se ha contraído por el factor:
1γ= 1-u2c2 (1)
Dadas las consideraciones anteriores, la distancia x de O a P, vista en S es :
x=ut+ x´1-u2c2 (2)
Al despejar x de esta ecuación se obtiene: x´=x-ut1-u2c2 (3)
Esta ecuación es parte de lastransformación de coordenadas de Lorentz la otra parte es la ecuación que proporciona t´ en términos de x y t, pero para esto utilizamos la transformación inversa esta debe tener la misma forma, excepto por el cambio de signo involucrado por el hecho de que el marco de referencia S se está desplazando hacia la izquierda mientras que el marco de referencia S’ permanece estático.

x´=-ut+ x1-u2c2 (4)Al igualar las ecuaciones 3 y 4 se obtiene la ecuación de t´ e términos de x y t :
* Paso 1:
-ut´+x1-u2c2=x-ut1-u2c2

* Paso 2
-ut´= x-ut1-u2c2- x1γ= 1-u2c2

* Paso 3
-ut´= x-ut-x(1-u2c2)1-u2c2
* Paso 4
-ut´= -ut+x(u2c2)1-u2c2
* Paso 5
-t´= u(-t+x(uc2)u ∙ 1-u2c2
* Paso 6
t´= t- uxc21-u2c2 (5)
x´=x-ut1-u2c2=γx-ut
y´=y
z´=z
t´= t-uxc21-u2c2= γt- uxc2
Como en las coordenadas galileanas , el movimiento no influye en las longitudes perpendiculares ya que la dirección del movimiento relativo es en el eje x solamente por lo tanto, y´=y y z´=z una vez planteadas estas ecuaciones y agrupándolas obtenemos las ecuaciones de las transformadas de Lorentz las cuales son las siguientes:

El espacio y el tiempo han quedadoligados; ya no se puede afirmar que la longitud y el tiempo tienen significados absolutos independientes del marco de referencia.
A partir de estas ecuaciones se obtiene que tanto las coordenadas como el tiempo de un suceso en un marco dependen del tiempo y coordenadas de otro marco, apartir de esto se puede decir que:


Por esta razón, nos referimos al tiempo y a las tres dimensiones del...